Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Klasse 11

Question 1

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die sich bei einer linearen Transformation nicht ändern.

Answer

Eigenwerte sind Skalare, die die Richtung der Eigenvektoren angeben.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen, die den Eigenraum aufspannen.

Question 2

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die sich bei einer linearen Transformation nur um einen Faktor ändern.

Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die parallel zum Eigenraum einer Matrix liegen.

Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die senkrecht zum Eigenraum einer Matrix stehen.

Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die die Eigenwerte einer Matrix bestimmen.

Question 3

Welche Aussage über Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Eigenvektoren linear unabhängig sind.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie nur reelle Eigenwerte hat.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie nur komplexe Eigenwerte hat.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie quadratisch ist.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen zu Eigenwerten ist **richtig**?

Accepted Answer

Eigenwerte können sowohl reell als auch komplex sein.

Answer

Eine Matrix kann niemals mehrere Eigenwerte haben, die gleich sind.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ist immer gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Question 5

Wie lautet die **Eigenwertgleichung** für eine Matrix A und einen Eigenwert λ?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Av = 0

Answer

Av = -λv

Answer

Av = 1

Question 6

Wie berechnet man einen Eigenwert einer Matrix A?

Accepted Answer

Durch Lösen der Gleichung det(A - λI) = 0

Answer

Durch Lösen der Gleichung A · x = λ · x

Answer

Durch Lösen der Gleichung A · x - λ · I = 0

Answer

Durch Lösen der Gleichung x · A = λ · x

Question 7

Ein Eigenraum lässt sich konstruieren als:

Accepted Answer

Nullraum des charakteristischen Polynoms

Answer

Kolonnenraum der Eigenvektormatrix

Answer

Zeilenraum der Eigenwertmatrix

Answer

Kern der Eigenwertmatrix

Question 8

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie können negativ sein.

Question 9

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Eigenvektor?

Accepted Answer

Ax = λx

Answer

Ax = 0

Answer

Ax = c

Answer

x = λA

Question 10

Welche der folgenden Matrizen ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 11

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix kann verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ergibt eine Matrix mit Eigenwerten auf der Diagonalen.

Question 12

Wie können Eigenwerte und Eigenvektoren genutzt werden, um lineare Gleichungssysteme effizient zu lösen?

Accepted Answer

Durch Umwandlung des Gleichungssystems in ein diagonalisiertes System, das einfacher zu lösen ist.

Answer

Durch Bestimmung des inversen Eigenvektors.

Answer

Durch Multiplikation mit dem Eigenwert.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind die Steigung der zugehörigen Eigenvektoren.

Question 14

Wie viele Eigenvektoren hat eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

So viele wie ihre Dimension

Answer

Nur einen

Answer

Keine

Answer

Zwei

Question 15

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente

Answer

Die Summe ihrer Nebendiagonalelemente

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Summe aller ihrer Elemente

Question 16

Wie viele Eigenwerte hat eine 3x3-Matrix?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind immer reelle Zahlen.

Question 18

Eigenwert und Eigenvektor einer Matrix

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung `det(A - λI) = 0` und ein Eigenvektor ist eine von Null verschiedene Lösung der Matrizengleichung `(A - λI)x = 0`.

Answer

Eigenwert und Eigenvektor sind dasselbe.

Question 19

Eigenschaften von Eigenvektoren

Accepted Answer

Zu verschiedenen Eigenwerten gehörige Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Die Summe zweier Eigenvektoren ist ein Eigenvektor.

Answer

Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind linear abhängig.

Question 20

Berechnung von Eigenwerten einer Matrix

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix `A` sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung `det(A - λI) = 0`.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix `A` sind die Lösungen der Gleichung `Ax = 0`.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix `A` sind die Elemente der Diagonalmatrix `A`.

Question 21

Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren finden Anwendung in Bereichen wie linearen Transformationen, Stabilitätsanalysen und Schwingungsproblemen.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden nur in der Quantenmechanik verwendet.

Question 22

Berechnung der Diagonalform einer Matrix

Accepted Answer

Die Diagonalform einer Matrix `A` kann durch `A = PDP^-1` berechnet werden, wobei `P` die Matrix aus Eigenvektoren und `D` die Diagonalmatrix aus Eigenwerten ist.

Answer

Die Diagonalform einer Matrix `A` kann durch `A = D^-1PD` berechnet werden.

Question 23

Anwendungen der Diagonalisierung

Accepted Answer

Die Diagonalisierung kann zur Vereinfachung linearer Transformationen und zur Lösung von Problemen in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden.

Answer

Die Diagonalisierung kann nur zur Invertierung von Matrizen verwendet werden.

Question 24

Charakteristische Gleichung einer Matrix

Accepted Answer

Die charakteristische Gleichung einer Matrix `A` ist `det(A - λI) = 0`, wobei `λ` die Eigenwerte und `I` die Einheitsmatrix sind.

Answer

Die charakteristische Gleichung einer Matrix `A` ist `det(A + λI) = 0`.

Question 25

Eine Matrix B hat den Eigenwert λ = -2. Welcher der folgenden Vektoren könnte ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert sein?

Accepted Answer

[1, -1]

Answer

[0, 0]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Question 26

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Vektor, dessen Richtung durch die lineare Transformation der Matrix nicht verändert wird.

Answer

Ein Vektor, der durch die lineare Transformation der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der senkrecht zu allen anderen Eigenvektoren der Matrix ist.

Question 27

Welche Aussage über diagonalisierbare Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Sie besitzen linear unabhängige Eigenvektoren, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Sie sind immer symmetrische Matrizen.

Answer

Ihre Eigenwerte sind immer ganzzahlig.

Question 28

Welcher Vorteil ergibt sich durch die Diagonalisierung einer Matrix?

Accepted Answer

Sie vereinfacht die Berechnung von Potenzen der Matrix.

Answer

Sie liefert die Inverse der Matrix.

Answer

Sie ermöglicht die Bestimmung der Determinante der Matrix.

Question 29

In welchen Bereichen finden Eigenwerte und Eigenvektoren Anwendung?

Accepted Answer

Alle genannten Bereiche

Answer

Maschinenlernen

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Schwingungsanalyse

Question 30

Was ist die Bedeutung des charakteristischen Polynoms einer Matrix?

Accepted Answer

Seine Nullstellen entsprechen den Eigenwerten der Matrix.

Answer

Es liefert die Eigenvektoren der Matrix.

Answer

Es liefert die Determinante der Matrix.

Question 31

Welche Aussage trifft auf eine Matrix zu, deren Eigenwerte alle verschieden sind?

Accepted Answer

Sie ist diagonalisierbar.

Answer

Sie ist symmetrisch.

Answer

Sie ist nicht invertierbar.

Answer

Sie hat die Determinante 0.

Question 32

Welche der folgenden Matrizen ist die Eigenwertmatrix zur Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]?

Accepted Answer

[[3, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 3]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Question 33

Welche der folgenden Gleichungen ist die Eigenwertgleichung?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

A + v = λ

Answer

Av = v + λ

Answer

v = λA

Question 34

Ein Eigenvektor v der Matrix A besitzt den zugehörigen Eigenwert λ = 0. Was bedeutet das für v?

Accepted Answer

v wird durch A auf den Nullvektor abgebildet.

Answer

v ist der Nullvektor.

Answer

v ist orthogonal zu A.

Answer

v ist ein Eigenvektor der Einheitsmatrix.

Question 35

Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren besitzt eine 2x2-Matrix mit zwei unterschiedlichen Eigenwerten?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

Unendlich viele

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist **richtig**?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden in der Physik zur Analyse von Schwingungen verwendet.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Modellierung von Wettervorhersagen verwendet.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in der Statistik verwendet.

Question 37

Die Matrix A besitzt die Eigenwerte 1, 2 und 3. Welche der folgenden Aussagen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist 6.

Answer

Die Spur von A ist 6.

Answer

A ist invertierbar.

Answer

A ist diagonalisierbar.