Differentialgleichungen in Mathematik Klasse 10: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der Differentialgleichung y' - 2y = 3?

Accepted Answer

y = e^(2x) + 1/2

Answer

y = e^(-2x) + 1/2

Answer

y = x * e^(-2x) + 1/2

Answer

y = x^2 * e^2x + 1/2

Question 2

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit Anfangsbedingung?

Accepted Answer

Es gibt genau eine Lösung.

Answer

Es kann keine Lösung geben.

Answer

Die Lösung ist immer konstant.

Answer

Die Lösung ist immer Null.

Question 3

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Bernoulli-Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' + y = xy

Answer

y' = y * x + 1

Answer

y' = y/x - 2

Answer

y' = y^2 + 1

Question 4

Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat folgende Form:

Accepted Answer

dy/dx + p(x)y = q(x)

Answer

dy/dx = p(x)y^2 + q(x)

Answer

d^2y/dx^2 + p(x)dy/dx + q(x)y = 0

Answer

y'' + p(x)y + q(x) = 0

Question 5

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' = y^2 + x

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' = e^(-x)

Question 6

Welche Funktion stellt die Lösung der Differentialgleichung y' = y dar?

Accepted Answer

y = e^x

Answer

y = x

Answer

y = 0

Answer

y = 1

Question 7

Welche der folgenden Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Für jede Anfangsbedingung existiert eine eindeutige Lösung.

Answer

Für eine gegebene Anfangsbedingung existieren möglicherweise mehrere Lösungen.

Answer

Für eine lineare Differentialgleichung existiert keine Lösung.

Answer

Die Existenz einer Lösung hängt von der Anfangsbedingung ab.

Question 8

Welche Anwendung von Differentialgleichungen erster Ordnung findet sich in der Epidemiologie?

Accepted Answer

Modellierung der Ausbreitung von Infektionskrankheiten

Answer

Berechnung der Wachstumsrate von Bakterienkulturen

Answer

Beschreibung des Blutflusses im menschlichen Körper

Answer

Vorhersage von Erdbeben

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über homogene Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre rechten Seiten sind immer 0.

Answer

Ihre Lösungen sind immer lineare Funktionen.

Answer

Sie können durch Trennung der Variablen gelöst werden.

Answer

Sie modellieren niemals reale Probleme.

Question 10

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine separable Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = y / x

Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' = x² + y²

Answer

y' = e^(x + y)

Question 11

Welche Aussage über die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist die Summe der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung.

Answer

Sie ist eine lineare Funktion der unabhängigen Variablen.

Answer

Sie ist immer eine Exponentialfunktion.

Answer

Sie ist nur für lineare Differentialgleichungen definiert.

Question 12

Gegeben sei die Differentialgleichung y' = ky mit k > 0. Welche Aussage über die Lösungen dieser Gleichung ist richtig?

Accepted Answer

Die Lösungen sind alle streng monoton steigend.

Answer

Die Lösungen sind alle streng monoton fallend.

Answer

Die Lösungen können sowohl steigend als auch fallend sein.

Answer

Die Lösungen sind alle konstant.

Question 13

Welche Aussage über nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist richtig?

Accepted Answer

Sie können manchmal durch lineare Transformationen in lineare Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt werden.

Answer

Sie sind immer schwieriger zu lösen als lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.

Answer

Sie haben immer eindeutige Lösungen.

Answer

Sie können keine realen Phänomene beschreiben.

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' + 2y = 0?

Accepted Answer

y = Ce^(-2x)

Answer

y = x + Ce^(-2x)

Answer

y = Cxe^(-2x)

Answer

y = Cx^2e^(-2x)

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist die Lösung der Differentialgleichung y' = 2y?

Accepted Answer

y = e^(2x)

Answer

y = 2e^x

Answer

y = x^2

Answer

y = -2x

Question 16

Welche Integrationsmethode wird verwendet, um die Differentialgleichung y' + y = sin(x) zu lösen?

Accepted Answer

Integrierender Faktor

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Partielle Integration

Question 17

Wie lautet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' - 3y = e^x?

Accepted Answer

y = c₁e^(3x) + (1/3)e^x

Answer

y = c₁e^(-3x) + (1/3)e^x

Answer

y = c₁e^(3x) - (1/3)e^x

Answer

y = c₁e^(-3x) - (1/3)e^x

Question 18

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) erfüllen, damit sie ein integrierender Faktor für die Differentialgleichung y' + P(x)y = Q(x) ist?

Accepted Answer

f'(x)P(x) = f(x)Q(x)

Answer

f'(x)Q(x) = f(x)P(x)

Answer

f'(x) = P(x)Q(x)

Answer

f'(x) = f(x)P(x) + Q(x)

Question 19

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' + y = 0

Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' = 2y

Answer

y = x^2

Question 20

Welche Methode kann verwendet werden, um die Stabilität eines Gleichgewichtspunkts einer Differentialgleichung zu untersuchen?

Accepted Answer

Alle angegebenen

Answer

Linearisierung

Answer

Phasenlinienanalyse

Answer

Numerische Simulation

Question 21

Welche physikalische Größe wird durch die Lösung der Differentialgleichung y'' + ω²y = 0 beschrieben?

Accepted Answer

Harmoniebewegung

Answer

Radioaktiver Zerfall

Answer

Elektrischer Strom

Answer

Wärmeübertragung

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y' - sin(x)y = 0

Answer

y' = y^2

Answer

y'' + y' = x

Question 23

Welche der folgenden Differentialgleichungen modelliert das Wachstum einer Bakterienpopulation?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y'' = -ky

Answer

y'' = ky

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Lösungen bilden einen Vektorraum.

Answer

Sie können durch Variation der Konstanten gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine konstante Lösung.

Answer

Sie sind immer nichtlinear.

Question 25

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' + y = 0

Answer

y' + y = y^2

Question 26

Welche der folgenden Methoden wird verwendet, um inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung zu lösen?

Accepted Answer

Variation der Parameter

Answer

Euler-Cauchy-Gleichung

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Laplace-Transformation

Question 27

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2xy = 0

Answer

sin(y') = x (Nicht linear, da trigonometrische Funktion)

Answer

y'' + y' = 0 (Nicht linear, da zweite Ableitung)

Answer

y' = x^2 + y (Nicht linear, da nicht-lineare Terme)

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist eine Exponentialfunktion.

Answer

Die allgemeine Lösung einer nicht-homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist eine lineare Funktion. (Nicht immer wahr)

Question 29

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialgleichungen trifft zu?

Accepted Answer

Modellierung des radioaktiven Zerfalls

Answer

Vorhersage von Börsenkursen (Komplexere Modellierung, nicht unbedingt Differentialgleichungen)

Answer

Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises (Integralrechnung, keine Differentialgleichung)

Answer

Ermittlung der Geschwindigkeit eines Objekts (Kinematik, keine Differentialgleichung)

Question 30

Welche der folgenden Techniken kann verwendet werden, um eine Differentialgleichung zu lösen?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Lineare Regression (Keine Lösungsmethode für Differentialgleichungen)

Answer

Integration durch Substitution (Richtig, aber nicht die angegebene Technik)

Answer

Faktorisierung des Polynoms (Nicht für alle Differentialgleichungen anwendbar)

Question 31

Welche der folgenden Initialbedingungen für die Differentialgleichung y' = 2y gilt?

Accepted Answer

y(0) = 1

Answer

y(1) = 2 (Nicht die angegebene Bedingung)

Answer

y'(0) = 2 (Nicht die angegebene Bedingung)

Question 32

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines Objekts im freien Fall?

Accepted Answer

y'' = -g

Answer

y' = -gy (Geschwindigkeit, nicht Beschleunigung)

Answer

y' + gy = 0 (Falsches Vorzeichen)

Answer

y'' + gy' = 0 (Falsches Vorzeichen)

Question 33

Welche der folgenden Softwareanwendungen kann verwendet werden, um Differentialgleichungen zu lösen?

Accepted Answer

Mathematica

Answer

Google Docs (Textverarbeitung, keine Differentialgleichungen)

Answer

Microsoft Word (Textverarbeitung, keine Differentialgleichungen)

Answer

Adobe Photoshop (Bildbearbeitung, keine Differentialgleichungen)

Question 34

Welche Aussage über lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können entweder durch Trennung der Variablen oder unter Verwendung eines integrierenden Faktors gelöst werden.

Answer

Sie besitzen stets eine eindeutige Lösung.

Question 35

Welche Differentialgleichung modelliert das Wachstum einer Bakterienpopulation, wenn die Wachstumsrate proportional zur Populationsgröße ist?

Accepted Answer

y' = ky

Answer

y' = -ky

Answer

y' = -k/y

Answer

y' = k/y

Question 36

Welche allgemeine Lösung besitzt die Differentialgleichung y' = 3x^2 + 2x?

Accepted Answer

y = x^3 + x^2 + C

Answer

y = -x^3 - x^2 + C

Answer

y = x^3 - x^2 + C

Answer

y = -x^3 + x^2 + C

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y'' + p(x)y = q(x)

Answer

y'y'' = p(x)

Question 38

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Bernoullische Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)y^n

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y'y'' = p(x)

Answer

y'' + p(x)y' = q(x)

Question 39

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um eine Riccati-Differentialgleichung zu lösen?

Accepted Answer

Transformation u = 1/y

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Integration durch Substitution

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y = c₁y₁ + c₂y₂

Answer

y = c₁y₁

Answer

y = y₁y₂

Answer

y = c₂y₂

Question 41

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y' = p(x)y + q(x)

Answer

y'y'' = p(x)

Answer

y'' + p(x)y = q(x)y^n

Question 42

Welche der folgenden Aussagen zur allgemeinen linearen Differentialgleichung erster Ordnung y' + p(x)y = q(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lösungsmenge wird durch die allgemeine Lösung y(x) = e^(-∫p(x)dx)[∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + C] beschrieben.

Answer

Die Lösungsmenge ist durch eine partikuläre Lösung gegeben.

Answer

Die Lösungsmenge ist leer, wenn p(x)q(x) ≠ 0.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die geometrische Bedeutung der Lösungskurve einer Differentialgleichung y' = f(x,y)?

Accepted Answer

Die Steigung der Kurve in jedem Punkt (x,y) ist durch f(x,y) gegeben.

Answer

Die Kurve ist stets eine Gerade.

Answer

Die Kurve ist stets eine Parabel.

Question 44

Welche der folgenden Anwendungen ist mit Differentialgleichungen verbunden?

Accepted Answer

Modellbildung für Wachstumsprozesse, wie z.B. Populationswachstum oder radioaktiver Zerfall

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Answer

Bestimmung von Integralen

Question 45

Welche der folgenden Aussagen zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz ist korrekt?

Accepted Answer

Unter bestimmten Voraussetzungen, wie Stetigkeit und Lipschitz-Bedingungen, existiert und ist eindeutig eine Lösung für eine Differentialgleichung in einem Intervall.

Answer

Der Satz gilt für alle Differentialgleichungen erster Ordnung.

Question 46

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine separable Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = x/y

Answer

y' = y + x

Answer

y' = x^2y

Answer

y' = xy

Question 47

Welche der folgenden Aussagen zur Riccati-Gleichung ist korrekt?

Accepted Answer

Für die Riccati-Gleichung y' = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) existiert im Allgemeinen keine allgemeine Lösungsmethode.

Answer

Die Riccati-Gleichung hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Die Riccati-Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung.

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist die Lösung der Differentialgleichung y' + 2y = 0?

Accepted Answer

y(x) = Ce^(-2x)

Answer

y(x) = 2Ce^(-x)

Answer

y(x) = Ce^(2x)

Answer

y(x) = -2Ce^(x)

Question 49

Welche der folgenden Anwendungen wird mit Differentialgleichungen modelliert?

Accepted Answer

Radioaktiver Zerfall

Answer

Ermittlung der Länge eines Kreisumfangs

Answer

Lösung eines Systems linearer Gleichungen

Answer

Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = f(x) y?

Accepted Answer

y(x) = Ce^(∫f(x) dx)

Answer

y(x) = Ce^(-∫f(x) dx)

Answer

y(x) = C cos(∫f(x) dx)

Answer

y(x) = C sin(∫f(x) dx)

Question 51

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

u_x + u_y = f(x, y)

Answer

u'' = f(x)

Answer

u'' + u = 0

Answer

u' - u = f(x, y)

Question 52

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung korrekt?

Accepted Answer

Sie kann in der Form y' + a(x)y = b(x) dargestellt werden, wobei a(x) und b(x) Funktionen von x sind.

Answer

Die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist immer eine lineare Funktion.

Answer

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung können nur mit der Methode der Trennung der Variablen gelöst werden.

Question 53

Welche Aussage beschreibt am besten die Bedeutung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung in der Praxis?

Accepted Answer

Sie finden Anwendung in der Modellierung von Wachstumsprozessen, Zerfallsprozessen und elektrischen Schaltkreisen.

Answer

Sie werden hauptsächlich in der Physik zur Beschreibung von Bewegungen verwendet.

Answer

Sie sind für die Lösung algebraischer Gleichungen von höherem Grad unerlässlich.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Lösungen von Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung kann eine Konstante, eine Funktion oder eine implizite Gleichung sein.

Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion.

Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Zahl.

Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine rationale Funktion.

Question 55

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x^2

Answer

y' = sin(y)

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' = y^2

Question 56

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + 2xy = 0

Answer

y'' + y = 0

Answer

y' = x^2 + 2y^3

Answer

y' = sin(x) + 2y

Question 57

Welche der folgenden Anwendungen ist eine typische Anwendung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung?

Accepted Answer

Modellierung des radioaktiven Zerfalls

Answer

Lösung von Integralgleichungen

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Answer

Ermittlung der Eigenwerte einer Matrix

Question 58

Welche der folgenden Aussagen zur allgemeinen Lösung der Differentialgleichung y' = ky ist richtig?

Accepted Answer

y = Ce^kx

Answer

y = Cx^k

Answer

y = kCe^x

Answer

y = kCx

Question 59

Welche der folgenden Gleichungen ist eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' - 2y = 0

Answer

y' + 2xy = 0

Answer

y' = sin(x) + y

Answer

y' = x^2 + y^2

Question 60

Welche der folgenden Substitutionen kann verwendet werden, um die Differentialgleichung y' + y/x = x^2 zu lösen?

Accepted Answer

v = y/x

Answer

v = y + x

Answer

v = x/y

Answer

v = y'

Question 61

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Bernoulli-Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' + xy = y^3

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' + y = e^x

Answer

y' = x^2 + y^2

Question 62

Welche der folgenden Gleichungen ist eine exakte Differentialgleichung?

Accepted Answer

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, wobei ∂M/∂y = ∂N/∂x

Answer

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 1

Answer

M(x, y)dx + N(x, y)dy = x + y

Answer

M(x, y)dx - N(x, y)dy = 0

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der linearen Differentialgleichung y' = 2y mit der Anfangsbedingung y(0) = 1?

Accepted Answer

y = e^(2x)

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x^2

Answer

y = 1/x

Question 64

Bestimme die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung y' - y = e^x + x.

Accepted Answer

y = Ce^(-x) + e^x + x

Answer

y = Ce^(-2x) + e^x

Answer

y = Ce^(2x) + e^(-x)

Answer

y = Ce^x + e^(-x)