Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quiz und Übungen

Question 1

Gegeben ist der Vektor (2, 3, 5). Welcher der folgenden Vektoren ist ein Vielfaches dieses Vektors?

Accepted Answer

(4, 6, 10)

Answer

(3, 4, 6)

Answer

(5, 3, 2)

Answer

(1, 1, 5)

Question 2

Was beschreibt den Rang einer Matrix korrekt?

Accepted Answer

Die Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl ihrer Zeilen

Answer

Die Anzahl ihrer Spalten

Question 3

Berechnen Sie die Inverse der Matrix A = ((2, 3), (1, 4)).

Accepted Answer

A^(-1) = ((1/5, -3/5), (-1/5, 2/5))

Answer

A^(-1) = ((2, -3), (1, 2))

Answer

A^(-1) = ((1/5, 3/5), (1/5, -2/5))

Answer

A^(-1) existiert nicht

Question 4

Welche Aussage über invertierbare n x n-Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.

Answer

Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante 0 ist.

Answer

Eine Matrix ist invertierbar, wenn sie quadratisch ist.

Question 5

Was ist die zutreffendste Beschreibung einer Matrix?

Accepted Answer

Eine rechteckige Anordnung von Elementen in Zeilen und Spalten

Answer

Eine quadratische Anordnung von Elementen

Answer

Eine Anordnung von Elementen mit gleichem Datentyp

Answer

Eine Anordnung von Elementen ohne komplexe Zahlen

Question 6

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Eigenschaft von Matrizen?

Accepted Answer

Matrizen sind Anordnungen von Zahlen in Zeilen und Spalten.

Accepted Answer

Matrizen können beliebig groß sein.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 7

Gegeben ist die Matrix A = $ egin{pmatrix} 1 & -2  3 & 4 end{pmatrix}$. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ = 2?

Accepted Answer

$ egin{pmatrix} 2  3 end{pmatrix}$

Answer

$ egin{pmatrix} 1  1 end{pmatrix}$

Answer

$ egin{pmatrix} -1  2 end{pmatrix}$

Answer

$ egin{pmatrix} 0  1 end{pmatrix}$

Question 8

Welche Multiplikation ergibt das Produkt aus Matrix A und Vektor b?

Accepted Answer

A x b

Answer

b x A

Answer

A<sup>T</sup> x b

Answer

b<sup>T</sup> x A

Question 9

Welche Aussage über Vektoren im dreidimensionalen Raum (R³) ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Vektoren im R³ sind immer linear unabhängig.

Answer

Vektoren im R³ können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren im R³ haben eine Länge und eine Richtung.

Answer

Vektoren im R³ können mit Skalaren multipliziert werden.

Question 10

Sei (A=(a_{ij}) in mathbb{R}^{m	imes n}) eine Matrix. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix kann nur quadratisch sein.

Answer

Die Elemente von A heißen Matrixelemente.

Answer

Die Dimension einer Matrix ist durch ihre Zeilen- und Spaltenanzahl gegeben.

Answer

Eine Matrix kann nur reelle Einträge enthalten.

Question 11

Welches der folgenden Tripel von Vektoren bildet ein linear abhängiges System im R³?

Accepted Answer

(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)

Answer

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Answer

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)

Answer

(1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 2, 1)

Question 12

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 13

Welche der folgenden Matrizen ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2, 3], [2, 1, 4], [3, 4, 1]]

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte können sowohl reell als auch komplex sein

Answer

Eigenwerte sind immer reell

Answer

Eigenwerte sind immer komplex

Answer

Eigenwerte sind immer positiv

Question 15

Was ist die Spur der Matrix A = [[2, 1], [3, 4]]?

Accepted Answer

6

Answer

5

Answer

7

Answer

8

Question 16

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

a * d - b * c

Answer

a + d - b + c

Answer

a * b - c * d

Question 17

Welche Aussage trifft auf einen Eigenvektor zu?

Accepted Answer

Er ergibt multipliziert mit dem Eigenwert ein Vielfaches seiner selbst.

Answer

Er steht senkrecht zum zugehörigen Eigenwert.

Answer

Sein Betrag entspricht dem Eigenwert.

Question 18

Was ist die beste Beschreibung einer Matrix?

Accepted Answer

Eine geordnete Sammlung von Zahlen in Zeilen und Spalten

Answer

Eine Gleichung mit zwei Variablen

Answer

Eine Funktion, die eine Zahl in eine andere abbildet

Question 19

Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektoren $$vec{a} = (1, 2, -1)$$ und $$vec{b} = (-2, 5, 0)$$.

Accepted Answer

α = arccos(0,8)

Answer

α = 90°

Answer

α = arccos(-0,8)

Answer

α = 180°

Question 20

Die Matrix A ist gegeben durch: A = (2 -1; 3 4). Welchen Rang hat die Matrix A?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 21

Welche Eigenschaften treffen auf Vektoren im R^n zu?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor im R^n.

Accepted Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl.

Accepted Answer

Jeder Vektor im R^n kann als Linearkombination von Einheitsvektoren dargestellt werden.

Answer

Der Nullvektor hat die Länge 1.

Question 22

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren (2, 3) und (5, -1)?

Accepted Answer

11

Answer

-11

Answer

10

Answer

-10

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x² + y² = 1

Answer

x * y * z = 1

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Question 24

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Determinante der Matrix

Answer

Die Spur der Matrix

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix

Question 25

Was versteht man unter einem Lösungsraum?

Accepted Answer

Die Menge aller Lösungen eines linearen Gleichungssystems.

Answer

Eine Gerade im R³.

Answer

Eine Ebene im Rⁿ.

Answer

Ein Punkt im Rⁿ.

Question 26

Welche der folgenden Darstellungen repräsentiert eine Matrix?

Accepted Answer

{{1, 2}, {3, 4}}

Answer

[1, 2, 3]

Answer

(1, 2; 3, 4)

Answer

1 + 2i

Question 27

Welche Aussage über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren verfügen über eine Länge und eine Richtung.

Answer

Vektoren besitzen einen Anfangs- und einen Endpunkt.

Answer

Vektoren sind stets auf einer Ebene angeordnet.

Answer

Vektoren verlaufen immer parallel zueinander.

Question 28

Was bezeichnet der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix

Answer

Anzahl der Zeilen der Matrix

Answer

Anzahl der Spalten der Matrix

Answer

Summe aller Elemente der Matrix

Question 29

Was ist ein Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Wert, für den die Matrix einen Eigenvektor besitzt

Answer

Wert, für den die Matrix invertierbar ist

Answer

Wert, für den die Matrix singulär ist

Answer

Wert, für den die Determinante der Matrix null ist

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Matrix A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 6 \end{pmatrix}?

Accepted Answer

A ist invertierbar.

Answer

A ist nicht invertierbar.

Answer

A ist eine Diagonalmatrix.

Answer

A ist eine symmetrische Matrix.

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für den Vektorraum der linearen Funktionen über $\mathbb{R}$?

Accepted Answer

Er ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum.

Answer

Er ist ein endlichdimensionaler Vektorraum.

Answer

Er ist ein nulldimensionaler Vektorraum.

Answer

Er ist ein zweidimensionaler Vektorraum.

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}

Question 34

Welche der folgenden Funktionen stellt eine lineare Abbildung dar?

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x^2

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x * z

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang ist stets eine positive ganze Zahl.

Answer

Der Rang kann negativ sein.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Spalten der Matrix.

Question 36

Wie lautet die Inverse der Matrix [[1, 1], [2, 3]]?

Accepted Answer

[[3, -1], [-2, 1]]

Answer

[[-3, 1], [2, -1]]

Answer

[[1, -1], [-2, 3]]

Answer

[[1, 1], [2, 0]]

Question 37

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um die charakteristische Gleichung einer Matrix zu finden?

Accepted Answer

Setze die Determinante der Matrix minus dem Eigenwert gleich Null.

Answer

Subtrahiere den Eigenwert von der Diagonalen der Matrix.

Answer

Addiere den Eigenwert zur Diagonalen der Matrix.

Answer

Multipliziere die Matrix mit dem Eigenwert.

Question 38

Gegeben sei der Vektor v = (2, -1). Berechne den Normalenvektor zu v.

Accepted Answer

(-1, 2)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 2)

Answer

(-2, 1)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren haben keine definierte Richtung.

Answer

Vektoren können nur in eine Richtung zeigen.

Answer

Vektoren können nur addiert, aber nicht subtrahiert werden.

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]

Answer

[1 1 0; 0 1 0; 0 0 1]

Answer

[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1]

Answer

[0 1 0; 1 0 1; 0 1 0]

Question 41

Wie lautet die Inverse einer diagonalen Matrix?

Accepted Answer

Die Matrix mit den Kehrwerten der Diagonalelemente

Answer

Die Matrix mit den Quadratwurzeln der Diagonalelemente

Answer

Die Matrix mit den Quadraten der Diagonalelemente

Answer

Die Matrix mit den negativen Diagonalelementen

Question 42

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Elemente in der Matrix

Answer

Die Summe der Diagonalelemente

Answer

Die Differenz der Diagonalelemente

Question 43

Wie viele linear unabhängige Vektoren gibt es in einem zweidimensionalen Raum?

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich viele

Answer

1

Answer

3

Question 44

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1, 2, 3)/√(14)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(2, 3, 4)

Answer

(0, 1, 1)

Question 45

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren (1, 2, 3) und (4, 5, 6):

Accepted Answer

(-3, 6, -3)

Answer

(3, -6, 3)

Answer

(6, -3, 3)

Answer

(-3, -6, -3)

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 0, 2], [0, 2, 0], [2, 0, 3]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0]]

Question 47

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x - y = 0, x + y = 2

Answer

x + y = 1

Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

2x - y = 1, 4x - 2y = 2

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Question 49

Was ist der Rang der Matrix $egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

3

Question 50

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine lineare Gleichung dar?

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x²

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 51

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 0; 0 0]

Answer

[0 1; 0 1]

Question 52

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann durch Überprüfung der Determinante verifiziert werden.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann eine eindeutige Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen muss kleiner oder gleich der Anzahl der Variablen sein.

Answer

Das Gaußsche Eliminationsverfahren kann verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Question 54

Welche Aussage über den Vektor $v = (2, 3, -1)$ ist korrekt?

Accepted Answer

Seine Länge beträgt $\sqrt{14}$.

Answer

Er ist ein Einheitsvektor.

Answer

Er ist orthogonal zum Vektor $(1, 1, 1)$.

Answer

Er liegt in der xy-Ebene.

Question 55

Welche Matrix ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$

Question 56

Welche Gleichung ist eine lineare Gleichung?

Accepted Answer

2x + 5y = 10

Answer

x^2 + y^2 = 9

Answer

sin(x + y) = 0

Answer

e^x + y = 5

Question 57

Welche Aussage ist korrekt für das lineare Gleichungssystem $\begin{cases} x + 2y = 5 \ 3x - y = 4 end{cases}$?

Accepted Answer

Es hat eine eindeutige Lösung.

Answer

Es hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat keine Lösung.

Answer

Es hat genau zwei Lösungen.

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

E = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

B = [[-1, 0], [0, -1]]

Answer

C = [[0, 1], [1, 0]]

Answer

A = [[2, 1], [1, 2]]

Question 59

Wie lautet die Determinante der Matrix A = [[2, -1], [3, 4]]?

Accepted Answer

11

Answer

-11

Answer

-5

Answer

5

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Elemente.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich ihrer Ordnung.

Question 61

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen NICHT definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Subtraktion

Question 62

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix der Ordnung 2?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 63

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Matrizen multipliziert werden können?

Accepted Answer

Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix muss gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix sein.

Answer

Die Matrizen müssen die gleiche Ordnung haben.

Answer

Die Matrizen müssen quadratisch sein.

Question 64

Gegeben ist der Vektor a = (3, -2). Was ist die Länge (Norm) des Vektors a?

Accepted Answer

√13

Answer

1

Answer

5