Reihen in der Mathematik: Konvergenz, Divergenz und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen zur Taylor-Reihe ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine Näherung.

Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie ist immer genau.

Answer

Sie ist nur für Polynome gültig.

Question 2

Bestimme das zweite Glied der Taylor-Reihe von e^x um x = 2.

Accepted Answer

(x - 2)² / 2

Answer

2

Answer

x - 2

Answer

(x - 2)² / 4

Question 3

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 2 + 4 - 8 + ...

Question 4

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$

Answer

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$

Question 5

Welche Aussage über die Taylor-Reihe von $f(x) = e^x$ im Punkt $x_0 = 0$ ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert für alle $x$.

Answer

Sie bricht nach dem ersten Term ab.

Answer

Sie ist eine geometrische Reihe.

Answer

Sie ist eine Potenzreihe mit Radius 0.

Question 6

Welche Aussage über die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n}$ ist richtig?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie konvergiert gegen $3$.

Question 7

Welche der folgenden Funktionen hat die folgende Taylor-Reihe: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$?

Accepted Answer

$e^x$

Answer

$x$

Answer

$x^2$

Answer

$sin(x)$

Question 8

Welche Aussage über die Konvergenz der Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert bedingt.

Answer

Sie konvergiert absolut.

Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie ist alternierend.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe $\sum_{n=1}^\infty n^2$ ist richtig?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert.

Answer

Sie konvergiert absolut.

Answer

Sie konvergiert bedingt.

Question 10

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ⋯

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯

Answer

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ⋯

Answer

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ⋯

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ⋯ ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert für alle x.

Answer

Die Reihe konvergiert nur für |x| ≤ 1.

Answer

Die Reihe divergiert für alle x außer x = 0.

Answer

Die Konvergenz oder Divergenz der Reihe hängt vom Wert von x ab.

Question 12

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht in eine Taylor-Reihe um den Punkt x = 0 entwickeln?

Accepted Answer

|x|

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 13

Unter welchen Bedingungen konvergiert eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Nur wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist

Answer

Immer

Answer

Nur wenn der Betrag des Quotienten größer als 1 ist

Answer

Nur wenn der Betrag des Quotienten gleich 1 ist

Question 14

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe?

Accepted Answer

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$

Answer

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{2^n} $$

Answer

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{x^n} $$

Answer

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{x^n} $$

Question 15

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Alle genannten Antworten

Answer

Berechnung von Grenzwerten

Answer

Approximation von Funktionen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 16

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe?

Accepted Answer

Die Folge der Summanden konvergiert gegen Null.

Answer

Die Folge der Summen ist beschränkt.

Answer

Die Folge der Summen konvergiert gegen Null.

Answer

Die Reihe ist positiv.

Question 17

Welche der folgenden Reihen ist eine divergente harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ (1/n)

Answer

Σ (1/n²)

Answer

Σ (1/n!)

Answer

Σ (1/e^n)

Question 18

Welche der folgenden Aussagen ist eine Eigenschaft von unendlichen Reihen?

Accepted Answer

Sie können konvergent oder divergent sein.

Answer

Sie haben immer eine endliche Summe.

Answer

Sie sind immer monoton.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 19

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x^2 / 2

Answer

1 - x + x^2 / 2

Answer

1 - x - x^2 / 2

Answer

1 + x + x^2

Question 20

Welche der folgenden Reihen ist alternierend?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (n + 1) / (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n / 2^n

Question 21

Welche Aussage zur Konvergenz der geometrischen Reihe ist falsch?

Accepted Answer

Eine geometrische Reihe mit einem Betrag des Quotienten gleich 1 kann konvergieren oder divergieren.

Answer

Eine geometrische Reihe mit einem Betrag des Quotienten kleiner als 1 konvergiert.

Answer

Eine geometrische Reihe mit einem Betrag des Quotienten größer als 1 divergiert.

Answer

Der Grenzwert einer konvergenten geometrischen Reihe ist gleich dem Quotienten.

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / (n + 1)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / (2^n)

Question 23

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (n + 1) / (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n / 2^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / n^2

Question 24

Die Taylor-Reihe für f(x) = sin(x) um x = 0 lautet:

Accepted Answer

∑(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)!

Answer

∑x^n/n!

Answer

∑(-1)^n x^(2n)/(2n)!

Answer

∑x^(2n+1)/(2n+1)!

Question 25

Welche der folgenden Reihen ist eine Alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(-1)^n/n^2

Answer

∑(-1)^n n^2

Answer

∑n/(n+1)

Answer

∑1/n

Question 26

Die Reihe ∑(n+1)/(n^2+2) ist:

Accepted Answer

bedingt konvergent

Answer

absolut konvergent

Answer

divergent

Answer

nicht eindeutig bestimmbar

Question 27

Welche Aussage über die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... trifft zu?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Ihre Konvergenz ist abhängig von der Anzahl der Summanden.

Answer

Sie oszilliert zwischen 1 und 2.

Question 28

Welche Aussage über die Konvergenz der Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... trifft zu?

Accepted Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Sie konvergiert gegen eine endliche Zahl.

Answer

Ihre Konvergenz kann nicht bestimmt werden.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist ein Beispiel für eine bedingt konvergente Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...

Answer

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Question 30

Welche Aussage über die Reihe 1 + x + x^2 + x^3 + ... für |x| < 1 trifft zu?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1/(1-x).

Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Ihre Konvergenz hängt vom Wert von x ab.

Answer

Sie oszilliert zwischen -1 und 1.

Question 31

Bei welcher Reihe ist der Grenzwert des n-ten Elements gleich 0?

Accepted Answer

1/n

Answer

n^2

Answer

sin(n)

Answer

e^n

Question 32

Wie lautet die Summe der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... bis ins Unendliche?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

1/2

Answer

∞

Question 33

Welche Methode wird verwendet, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Wurzeltaste

Answer

Vergleichstest

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Limes superior

Question 34

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{1}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{n}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{(-1)^n}{n}$

Question 35

Welche Aussage über alternierende Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Alternierende Reihen können divergieren.

Answer

Alternierende Reihen konvergieren immer.

Answer

Alternierende Reihen konvergieren absolut.

Answer

Alternierende Reihen sind immer monoton.

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{1}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^infty \frac{n}{n+1}$

Question 37

Welche der folgenden Annahmen ist für die Anwendung des Quotientenkriteriums notwendig?

Accepted Answer

Die Reihe muss positive Terme haben.

Answer

Die Reihe muss alternierende Terme haben.

Answer

Die Reihe muss eine geometrische Reihe sein.

Answer

Die Reihe muss eine harmonische Reihe sein.

Question 38

Welche ist die Taylor-Reihe für die Funktion f(x) = e^x im Punkt x=0?

Accepted Answer

1 + x + x²/2 + x³/6 + ...

Answer

1 - x + x²/2 - x³/6 + ...

Answer

1 + x - x²/2 + x³/6 + ...

Answer

1 - x - x²/2 + x³/6 + ...

Question 39

Wie lautet der Restgliedsatz für die Taylor-Reihe der n-ten Ordnung?

Accepted Answer

Rₙ(x) = f^(n+1)(c) * (x-c)^(n+1) / (n+1)!

Answer

Rₙ(x) = f^(n)(c) * (x-c)^(n) / n!

Answer

Rₙ(x) = f′(x) * (x-c)^(n+1) / (n+1)

Answer

Rₙ(x) = f(x) - f(c) - f′(c) * (x-c) - ... - f^(n)(c) * (x-c)^n / n!

Question 40

Welche Aussage über die Summe der Reihe 1/n² + 1/n³ + 1/n⁴ + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen π²/6, da sie mit der Basler Reihe übereinstimmt.

Answer

Sie divergiert gegen Unendlich, da die Summe der Kehrwerte von Quadratzahlen unendlich ist.

Answer

Sie konvergiert gegen eine rationale Zahl, da alle Glieder rationale Zahlen sind.

Answer

Ihre Konvergenz kann nicht bestimmt werden.

Question 41

Wie lautet der Grenzwertsatz für alternierende Reihen?

Accepted Answer

|Sₙ - s| ≤ aₙ₊₁, wobei aₙ die alternierenden Glieder sind

Answer

|Sₙ - s| ≥ aₙ₊₁, wobei aₙ die alternierenden Glieder sind

Answer

Sₙ = s + aₙ₊₁, wobei aₙ die alternierenden Glieder sind

Answer

Sₙ = s - aₙ₊₁, wobei aₙ die alternierenden Glieder sind

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe 1 - 1² + 1³ - 1⁴ + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 0, da sie eine alternierende Reihe mit abnehmendem Betrag ist.

Answer

Sie divergiert gegen Unendlich, da die Summe der absoluten Werte der Glieder unendlich ist.

Answer

Sie ist alternierend, da die Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Answer

Sie ist eine geometrische Reihe.

Question 43

Bestimmen Sie, ob die folgende Reihe konvergiert oder divergiert: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Divergiert

Question 44

Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der harmonischen Reihe: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Accepted Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert

Question 45

Welche der folgenden Reihen stellt eine Taylor-Reihe für die Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

x - x³/3! + x⁵/5! - ...

Answer

x - x³/6 + x⁵/120 - ...

Answer

x + x³/3! + x⁵/5! + ...

Answer

x + x³/6 + x⁵/120 + ...

Question 46

Welche der folgenden Anwendungen von Reihenentwicklungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Erstellung von Funktionswerten

Answer

Approximation von Funktionen

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert, wenn |q| < 1.

Answer

Sie divergiert, wenn |q| > 1.

Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie divergiert, wenn |q| = 1.

Question 48

Bestimmen Sie, ob die Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 1

Question 49

Bestimmen Sie, ob die alternierende Reihe (-1)^n / n^2 konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 0

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Approximation einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert eine immer bessere Näherung, wenn n zunimmt.

Answer

Sie ist immer exakt.

Answer

Sie kann nur für Polynome verwendet werden.

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist eine **geometrische** Reihe?

Accepted Answer

summe(2^n, n=0 zu unendlich)

Answer

summe(1/n, n=1 zu unendlich)

Answer

summe(n/(n+1), n=1 zu unendlich)

Answer

summe((n+1)/n, n=1 zu unendlich)

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist eine **alternierende** Reihe?

Accepted Answer

summe((-1)^n/n, n=1 zu unendlich)

Answer

summe(1/n^2, n=1 zu unendlich)

Answer

summe(1/(n+1), n=1 zu unendlich)

Question 53

Welche der folgenden Reihen kann mit der Taylor-Reihen-Entwicklung für e^x bestimmt werden?

Accepted Answer

summe(x^n/n!, n=0 zu unendlich)

Answer

summe(1/(n*x), n=1 zu unendlich)

Answer

summe(x^n, n=1 zu unendlich)

Answer

summe(n^x, n=1 zu unendlich)

Question 54

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis unendlich) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (n+1)/(n+2)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (n²+1)/(n³+2)

Answer

∑(n=0 bis unendlich) 1/(n+1)

Question 55

Welche Aussage über harmonische Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Die harmonische Reihe ist divergent.

Answer

Die harmonische Reihe ist konvergent und ihr Grenzwert ist unendlich.

Answer

Die harmonische Reihe ist semikonvergent.

Answer

Die harmonische Reihe ist konvergent und ihr Grenzwert ist 1.

Question 56

Wie lautet die asymptotische Abschätzung für die Fakultätsfunktion?

Accepted Answer

n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n

Answer

n! ≈ (1/n!)^n

Answer

n! ≈ n^n

Answer

n! ≈ (n+1)!

Question 57

Geben Sie die Grenzwertdefinition der Konvergenz einer Reihe an.

Accepted Answer

lim(n→∞) ∑(k=1 bis n) aₖ = L

Answer

lim(n→∞) (a(n) * a(n+1)) = 0

Answer

lim(n→∞) (a(n) / a(n+1)) = 1

Answer

lim(n→∞) (a(n+1) - a(n)) = 0

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...

Question 59

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑ (1/n^2)

Answer

∑ (n/n+1)

Answer

∑ (n^2)

Answer

∑ (-1)^n

Question 60

Was ist der Wert der geometrischen Reihe ∑ (1/2)^n für n = 0 bis ∞?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

1

Answer

∞

Question 61

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe für f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

∑ (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑ x^(2n+1) / (2n)!

Answer

∑ (-1)^n * x^(2n) / (2n)!

Question 62

Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (x/2)^n?

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1

Answer

1/2

Question 63

Welche Aussage über die harmonische Reihe ∑ (1/n) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie ist eine geometrische Reihe.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Question 64

Welche der folgenden Reihenentwicklungen wird verwendet, um die Exponentialfunktion darzustellen?

Accepted Answer

∑ x^n / n!

Answer

∑ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑ x^(2n+1) / (2n)!

Answer

∑ (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!