Grenzwerte in der Mathematik: Definition, Berechnung und Anwendungen

Question 1

Welcher der folgenden Grenzwerte ist nicht definiert?

Accepted Answer

lim_(x->0) (1 / x)

Answer

lim_(x->∞) (x² / (x² + 1))

Answer

lim_(x->1) ((x - 1)/(x² - 1))

Answer

lim_(x->0) (sin(x) / x)

Question 2

Welcher Ausdruck ist äquivalent zu lim_(x->∞) f(x)?

Accepted Answer

lim_(x->0) f(1/x)

Answer

lim_(x->0) f(x/2)

Answer

lim_(x->0) f(x²)

Answer

lim_(x->π) f(x)

Question 3

Nenne die notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle c.

Accepted Answer

lim_(x->c) f(x) = f(c) und f(c) existiert

Answer

lim_(x->c) f(x) = c und f(c) existiert

Answer

lim_(x->c) f(c) = f(x) und f(c) existiert

Answer

lim_(x->0) f(x) = f(0) und f(0) existiert

Question 4

Der Grenzwert lim_(x->∞) x² für die Funktion f(x) = x² ist:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Question 5

Berechne den einseitigen Grenzwert von f(x) = sqrt(x) für x gegen 0 von rechts:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

-∞

Question 6

Für die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 gilt:

Accepted Answer

f(0) = 1 und lim_(x->∞) f(x) = ∞

Answer

f(0) = 1 und lim_(x->∞) f(x) = -∞

Answer

f(0) = -1 und lim_(x->∞) f(x) = ∞

Answer

f(0) = -1 und lim_(x->∞) f(x) = -∞

Question 7

Welche Grenzwertregel gilt für lim_(x->a) [f(x) + g(x)]?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) + lim_(x->a) g(x)

Answer

lim_(x->a) [f(x) + g(x)] = lim_(x->a) f(x) - lim_(x->a) g(x)

Answer

lim_(x->a) [f(x) + g(x)] = lim_(x->a) f(x) * lim_(x->a) g(x)

Answer

lim_(x->a) [f(x) + g(x)] = lim_(x->a) f(x) / lim_(x->a) g(x)

Question 8

Ist die Funktion f(x) = |x| für x gegen -1 differenzierbar?

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja

Question 9

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert den Grenzwert der Funktion f(x) = x² für x, das gegen unendlich geht?

Accepted Answer

lim (x→∞) x² = ∞

Answer

lim (x→∞) x² = 0

Answer

lim (x→∞) x² = 1

Answer

lim (x→∞) x² = nicht existent

Question 10

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert eines Quotienten ist der Quotient der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert eines Produkts ist das Produkt der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert einer Konstanten ist die Konstante.

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert einen Grenzwert?

Accepted Answer

lim x->0 f(x)

Answer

f(0)

Answer

f'(x)

Answer

∫f(x)dx

Question 12

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 2, wenn x gegen unendlich konvergiert?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 13

Bestimmen Sie den Grenzwert von (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

Unendlich

Question 14

Ist die Funktion f(x) = x² - 2x + 1 für alle reellen Zahlen x definiert?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 15

Berechnen Sie den Grenzwert von (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

Unendlich

Question 16

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = (x - 2) / (x + 2)

Answer

f(x) = e^(x - 2)

Answer

f(x) = sin(x - 2)

Question 17

Welche Grenzwertregel eignet sich, um den Grenzwert von f(x) = (x³ + 2x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1 zu ermitteln?

Accepted Answer

Faktorisieren und Kürzen

Answer

Regel von l'Hospital anwenden

Answer

Grenzwertsatz nutzen

Question 18

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwertes?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn sich der Punkt dem betrachteten Punkt beliebig nahe kommt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert, den die Funktion an diesem Punkt annimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert, der die Funktion an diesem Punkt berührt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert, der die Funktion an diesem Punkt schneidet.

Question 19

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Grenzwert an diesem Punkt existiert und gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Funktionswert an diesem Punkt existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihre Ableitung an diesem Punkt existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Integral an diesem Punkt existiert.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über horizontale Asymptoten ist richtig?

Accepted Answer

Eine horizontale Asymptote ist eine Gerade, der sich die Funktionswerte nähern, wenn der Betrag von x gegen unendlich geht.

Answer

Eine horizontale Asymptote ist eine Gerade, der sich die Funktionswerte nähern, wenn x gegen null geht.

Answer

Eine horizontale Asymptote ist eine Gerade, die die Funktionswerte schneidet.

Answer

Eine horizontale Asymptote ist eine Gerade, die die Funktionswerte berührt.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen besitzt eine schräge Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = x / (x - 1)

Answer

f(x) = x² / (x - 1)

Answer

f(x) = sin(x) / (x - 1)

Answer

f(x) = e^x / (x - 1)

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über unendliche Grenzwerte ist richtig?

Accepted Answer

Ein unendlicher Grenzwert bedeutet, dass die Funktionswerte gegen unendlich streben.

Answer

Ein unendlicher Grenzwert bedeutet, dass die Funktionswerte gegen null streben.

Answer

Ein unendlicher Grenzwert bedeutet, dass die Funktionswerte gegen einen endlichen Wert streben.

Answer

Ein unendlicher Grenzwert bedeutet, dass die Funktionswerte undefiniert sind.

Question 23

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x-2) / (x-3) für x gegen 3

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

minus unendlich

Question 24

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim x -> 0 (1 / x)

Answer

lim x -> ∞ (x² + 1)

Answer

lim x -> 2 (x² - 4)

Answer

lim x -> -∞ (e^x)

Question 25

Sei f(x) definiert als e^x für alle x ∈ ℝ. Welchen Grenzwert hat f(x) für x gegen ∞?

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

Unbestimmt

Question 26

Ist die Funktion f(x) = x² für x ∈ ℝ an der Stelle x = 0 differenzierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Differenzierbarkeit nicht bestimmbar

Answer

Kein Grenzwert an der Stelle

Question 27

Welcher Ausdruck beschreibt den einseitigen Grenzwert von f(x) = 2x + 1 für x gegen 0 von links?

Accepted Answer

lim_(x→0-) (2x + 1)

Answer

lim_(x→0+) (2x + 1)

Answer

lim_(x→∞) (2x + 1)

Answer

-1

Question 28

Für welche Werte von a ist die Funktion f(x) = |x - a| an der Stelle x = a differenzierbar?

Accepted Answer

Für keinen Wert von a

Answer

a = 0

Answer

a = 1

Answer

Für alle Werte von a

Question 29

Sei f(x) = (x² - 3x + 2) / (x - 2). Berechne den Grenzwert von f(x) für x gegen 2.

Accepted Answer

1

Answer

-3

Answer

3

Answer

5

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 31

Bestimme den Grenzwert von log(x) für x gegen 0.

Accepted Answer

-Unendlich

Answer

-1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 32

Untersuche, ob die Funktion f(x) = x / (x² - 1) bei x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja

Question 33

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a stetig, wenn __________.

Accepted Answer

der Grenzwert der Funktion bei x = a existiert und gleich dem Funktionswert bei x = a ist

Answer

der einseitige Grenzwert von links gleich dem einseitigen Grenzwert von rechts ist

Answer

die Funktion an der Stelle x = a differenzierbar ist

Question 34

Eine Funktion ist an einer Stelle x = a differenzierbar, wenn __________.

Accepted Answer

der Grenzwert des Differenzenquotienten bei x = a existiert

Answer

die Funktion an der Stelle x = a stetig ist

Answer

die Funktion an der Stelle x = a eine Extremstelle besitzt

Question 35

Welche der folgenden Funktionen besitzt bei x = 0 eine vertikale Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 36

Eine Funktion f(x) ist an einer Stelle x = a genau dann differenzierbar, wenn __________.

Accepted Answer

der Grenzwert des Differenzenquotienten bei x = a existiert und endlich ist

Answer

die Funktion an der Stelle x = a stetig ist

Answer

die Funktion an der Stelle x = a eine Extremstelle besitzt

Question 37

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar bei x = 0

Answer

f(x) ist differenzierbar bei x = 0

Answer

f(x) ist stetig bei x = 0

Answer

f(x) hat keinen Grenzwert bei x = 0

Question 38

Der Grenzwert der Funktion f(x) = sqrt(x^2 + 1) für x gegen 0 ist:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

e

Question 39

Welche Funktion ist nicht stetig bei x = 1?

Accepted Answer

h(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = x^2

Answer

g(x) = |x|

Answer

k(x) = sin(x)

Question 40

Berechne den einseitigen Grenzwert:
$lim_{x	o 2^{-}} (2 - x^2)$

Accepted Answer

-2

Answer

0

Answer

existiert nicht

Answer

unendlich

Question 41

Mit welcher Regel berechnest du die Ableitung von $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 42

Welche Funktion hat eine vertikale Tangente bei $x = 0$?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{1}{x}$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = |x|$

Answer

$f(x) = e^x$

Question 43

Welche der folgenden Ableitungsregeln wird bei der Berechnung des Grenzwerts von lim x -> 2 (f(x) / g(x)) verwendet?

Accepted Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist bei x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 45

Welche Aussage über den Grenzwert von lim x -> ∞ (e^(-x)) ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist e.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist bei x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x-1)

Answer

f(x) = (x-1)^2

Answer

f(x) = sqrt(x-1)

Answer

f(x) = exp(x-1)

Question 47

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert im Unendlichen?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 48

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 49

Berechnen Sie den Grenzwert von e^(2x) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

existiert nicht

Question 50

Welche Funktion hat an der Stelle x = 2 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 51

Ist die Funktion f(x) = 1 / x² bei x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Answer

Nur linksseitig stetig

Answer

Ja

Question 52

Welcher Wert ist der einseitige Grenzwert von f(x) = sqrt(x) für x → 0+?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

-1

Question 53

Ist die Funktion f(x) = sin(x) bei x = π/2 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Answer

Nein

Answer

Nur linksseitig stetig

Question 54

Ist die Funktion f(x) = ln(x) bei x = 1 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur rechtsseitig stetig

Answer

Nur linksseitig stetig

Question 55

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn:

Accepted Answer

der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist.

Answer

der Funktionswert f(a) existiert.

Answer

die Funktion an der Stelle x = a differenzierbar ist.

Question 56

Welche Aussage über die Funktion h(x) = 1 / (x - 2) ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 2 eine Polstelle.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 2 eine Nullstelle.

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 2 stetig.

Question 57

Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a eine vertikale Asymptote. Was bedeutet das?

Accepted Answer

Der Betrag des Grenzwerts von f(x) für x gegen a geht gegen unendlich.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a nicht differenzierbar.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert nicht.

Question 58

Welche Aussage über die Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = lim_(h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) = lim_(x -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) = lim_(x -> h) (f(x) - f(x + h)) / h

Answer

f'(x) = lim_(h -> 0) (f(x) - f(x + h)) / h

Question 59

Welche Aussage trifft auf den Grenzwert der Funktion f(x) = 1/x für x gegen Unendlich zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 60

Die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) hat eine Definitionslücke bei x = 1. Welchen Wert hat der Grenzwert von f(x) für x gegen 1?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 61

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x->0) 1/x

Answer

lim_(x->1) (x² - 1) / (x - 1)

Answer

lim_(x->∞) e^(-x)

Answer

lim_(x->∞) 1/x²

Question 62

Welche der folgenden Funktionen hat einen unendlich großen Grenzwert für x nähert sich 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 63

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 ...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

nicht stetig, aber differenzierbar.

Answer

nicht stetig und nicht differenzierbar.

Answer

stetig und differenzierbar.

Question 64

Welcher Grenzwert beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

lim_(h->0) (f(2 + h) - f(2)) / h

Answer

lim_(h->0) (f(2) - f(2 + h)) / h

Answer

lim_(x->∞) f(x)

Answer

lim_(x->2) f(x)