Funktionen in der Analysis: Online-Quizzes für die 12. Klasse der Fachoberschule

Question 1

Welche Funktion hat keinen lokalen Extrempunkt?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x⁴ - 2x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 2

Bestimme den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

Unendlich

Question 3

Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion (f) an einer Stelle (x₀)?

Accepted Answer

Die Ableitung (f'(x₀)) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von (f) im Punkt ((x₀, f(x₀))) an.

Answer

Die Ableitung (f'(x₀)) gibt die Änderungsrate von (f) an der Stelle (x₀) an.

Answer

Die Ableitung (f'(x₀)) entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte ((x₀, f(x₀))) und ((x₀+h, f(x₀+h))) für (h ≠ 0).

Answer

Die Ableitung (f'(x₀)) gibt den Flächeninhalt unter dem Graphen von (f) zwischen (x₀) und (x₀+h) für (h ≠ 0) an.

Question 4

Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = e^x auf der gesamten reellen Achse streng monoton wachsend ist.

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) = e^x ist für alle x positiv.

Answer

Der Graph von f(x) = e^x ist eine Gerade.

Answer

Die Funktion f(x) = e^x ist auf der gesamten reellen Achse stetig.

Answer

Die Umkehrfunktion von f(x) = e^x ist f^{-1}(x) = ln(x).

Question 5

Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x - 1| im Intervall [-1, 1]. Erläutern Sie Ihre Ergebnisse.

Accepted Answer

Die Funktion ist im Intervall (-1, 1) stetig, aber an den Punkten -1 und 1 unstetig.

Answer

Die Funktion ist im Intervall [-1, 1] stetig.

Answer

Die Funktion ist im gesamten Intervall [-1, 1] unstetig.

Question 6

Erläutert die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Ableitung und Differentialquotient.

Accepted Answer

Beide sind Funktionen, die einer Funktion eine Steigung zuordnen.

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an einem Punkt an, der Differentialquotient die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten.

Answer

Die Differentialquote ist immer positiv oder null, die Ableitung kann auch negative Werte annehmen.

Question 7

Die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x + 1 lautet:

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 2

Answer

f'(x) = x^2 - 2

Answer

f'(x) = 3x^2 + 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 8

Wie werden Ableitungen bei der Optimierung eingesetzt? Erläutere dies anhand eines Beispiels zur Gewinnmaximierung einer Funktion.

Accepted Answer

Ableitungen helfen, lokale Extremwerte zu finden, die für die Optimierung von Funktionen entscheidend sind.

Answer

Ableitungen dienen nur zur Integration von Funktionen.

Answer

Ableitungen sind für die Optimierung nicht hilfreich, da sie nur die Änderungsrate angeben.

Answer

Ableitungen werden nur zum Zeichnen von Tangenten an Funktionsgraphen verwendet.

Question 9

Wie werden Ableitungen bei der Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen eingesetzt? Erläutere dies anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Ableitungen helfen, die Zielfunktion innerhalb der zulässigen Werte der Nebenbedingung zu optimieren.

Answer

Ableitungen dienen dazu, die Nebenbedingung zu lösen und in die Zielfunktion einzusetzen.

Answer

Ableitungen werden verwendet, um die Zielfunktion in Abhängigkeit von der Nebenbedingung zu minimieren.

Answer

Ableitungen werden nicht bei der Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen verwendet.

Question 10

Analysiere die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = |x² - 1| an der Stelle x = 1. Erläutere die geometrische Bedeutung am Graphen der Funktion.

Accepted Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Stetig und differenzierbar

Answer

Differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

Weder stetig noch differenzierbar

Question 11

Welche Aussage beschreibt korrekt die Beziehung zwischen der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion und ihren geometrischen Eigenschaften?

Accepted Answer

Die erste Ableitung f'(x) gibt die Änderungsrate an, während die zweite Ableitung f''(x) die Krümmung darstellt.

Answer

Die erste Ableitung f'(x) gibt die Krümmung an, während die zweite Ableitung f''(x) die Änderungsrate darstellt.

Answer

Die erste Ableitung f'(x) gibt die Krümmung an, während die zweite Ableitung f''(x) die Änderungsrate darstellt.

Answer

Weder die erste noch die zweite Ableitung steht in Beziehung zur Änderungsrate oder Krümmung.

Question 12

Untersuche die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = |x - 3| an der Stelle x = 3. Erläutere deine Ergebnisse anhand des Graphen der Funktion.

Accepted Answer

f(x) ist stetig an x = 3, aber nicht differenzierbar an x = 3.

Answer

f(x) ist stetig und differenzierbar für alle x.

Answer

f(x) ist nicht stetig an x = 3.

Answer

f(x) ist differenzierbar, aber nicht stetig an x = 3.

Question 13

Berechne den Grenzwert: lim x->0 (x^2 + 1)

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

-∞

Question 14

Berechne den Grenzwert: lim (x->0) x^2

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

Nicht definiert

Question 15

Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung der Funktion f(g(x)) zu berechnen, wobei:

Accepted Answer

f'(g(x)) * g'(x)

Answer

f'(x) * g'(x)

Answer

f'(g(x)) / g'(x)

Answer

g'(f(x)) * f'(x)

Question 16

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

e^(x-1)

Answer

x

Question 17

Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x) = x³.

Accepted Answer

x⁴ / 4

Answer

x² / 2

Answer

x⁴

Answer

x³ / 3

Question 18

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 im Punkt (1, 0).

Accepted Answer

y = 3x - 2

Answer

y = x

Answer

y = x - 1

Answer

y = -x + 1

Question 19

Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x und der x-Achse im Intervall [0, 2] mit Hilfe eines Integrals.

Accepted Answer

∫[0, 2] x dx

Answer

∫[0, 1] x dx

Answer

∫[0, 2] x² dx

Answer

∫[0, 2] 1 dx

Question 20

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

4e^(2x)

Answer

e^(x)

Answer

2x e^(2x)

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt, wann der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert?

Accepted Answer

Wenn sich der Funktionswert der Funktion gegen einen bestimmten Wert annähert, wenn man sich der Stelle von beiden Seiten nähert.

Answer

Wenn die Funktion an der Stelle definiert ist.

Question 22

Überprüfe die Stetigkeit der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 im Punkt x = 1.

Accepted Answer

stetig

Answer

unstetig, hebbare Unstetigkeit

Answer

unstetig, Sprunguns連続的なティ

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x) / x

Answer

f(x) = 1 / x

Question 24

Berechne die Ableitung von f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^3 - 4x

Answer

x^3 + 2x^2 + 1

Question 25

Die Funktion f(x) = x^2 hat an der Stelle x = 0 ein relatives Extremum. Welcher Art ist dieses Extremum?

Accepted Answer

Minimum

Answer

Sattelpunkt

Answer

Wendepunkt

Answer

Maximum

Question 26

Die Funktion f(x) = sin(x) ist auf dem Intervall [0, π] streng monoton steigend.

Accepted Answer

Wahr

Answer

Weder steigend noch fallend

Answer

Steigend und fallend

Answer

Falsch

Question 27

Die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 hat einen Wendepunkt bei welcher x-Koordinate?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 28

Die Funktion f(x) = |x| ist im Punkt x = 0 nicht differenzierbar, da sie dort

Accepted Answer

keinen eindeutigen Grenzwert besitzt

Answer

keinen rechten Grenzwert besitzt

Answer

stetig ist

Answer

keinen linken Grenzwert besitzt

Question 29

Die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 lautet:

Accepted Answer

3x^2

Answer

3x

Answer

x^2

Answer

1

Question 30

Was ist der Grenzwert der Funktion  (x³ - 2x² + 1)/(x² - 4) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

∞

Answer

-∞

Answer

0

Answer

1

Question 31

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x + x?

Accepted Answer

F(x) = e^x + (x²)/2 + C

Answer

F(x) = (e^x)/2 + (x²)/2 + C

Answer

F(x) = e^x - (x²)/2 + C

Answer

F(x) = e^x + x + C

Question 32

Wie groß ist die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen den Punkten x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

32/3

Answer

16/3

Question 33

Welche Gleichung beschreibt die Tangente an die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 im Punkt (1,0)?

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = -x + 1

Answer

y = 2x - 1

Question 34

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1?

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

x³ - 4x + 5

Answer

3x³ - 2x² + 5

Answer

6x² - 2x + 5

Question 35

Wie lautet der Grenzwert der Funktion (x² - 2x) / (x² + 1) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 36

Bestimme die Fläche zwischen der Kurve y = x² und der x-Achse im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

16/3

Answer

4/3

Answer

2/3

Question 37

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x + sin(x)?

Accepted Answer

F(x) = e^x - cos(x) + C

Answer

F(x) = e^x + cos(x) + C

Answer

F(x) = -e^x - cos(x) + C

Question 38

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f(x) = x³ - 1?

Accepted Answer

f⁻¹(x) = ³√(x + 1)

Answer

f⁻¹(x) = -x³ + 1

Answer

f⁻¹(x) = √(x³ - 1)

Answer

f⁻¹(x) = x³ + 1

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist eine analytische Funktion?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 + 1

Question 40

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = 1/x

Question 42

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2 - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x^2 + 2x

Answer

f'(x) = x^3 + 4x^2

Question 43

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1

Answer

f(x) = x^2 - 4x + 3

Answer

f(x) = e^x

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = 1 / x^2 ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein Minimum bei x = 0.

Answer

Die Funktion hat ein Maximum bei x = 0.

Answer

Die Funktion hat einen Sattelpunkt bei x = 0.

Answer

Die Funktion hat keinen Extremwert.

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist konkav nach oben?

Accepted Answer

f(x) = x^3 + 2x^2 + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 - 4x + 3

Answer

f(x) = sin(x)

Question 46

Welche der folgenden Funktionen hat einen asymptotischen Graphen?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Reihe einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert immer gegen die Funktion.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist eine unendliche Reihe, die die Funktion um einen bestimmten Punkt approximiert.

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

F(x) = -cos(x)

Answer

F(x) = cos(x)

Answer

F(x) = e^sin(x)

Answer

F(x) = x * sin(x)

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x² - 10x + 3

Answer

f'(x) = 6x² - 5x + 3

Answer

f'(x) = 6x² - 10x - 1

Answer

f'(x) = 2x² - 5x + 3

Question 50

Die Funktion f(x) = x² + 2x - 3 hat an der Stelle x = 1 einen:

Accepted Answer

Tiefpunkt

Answer

Sattelpunkt

Answer

Hochpunkt

Question 51

Der Grenzwert von (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1 ist:

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 52

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x² - 2x + 1

Answer

f(x) = (x - 2)²

Answer

f(x) = x² / (x - 2)

Question 53

Die Tangente an die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 an der Stelle x = 2 hat die Gleichung:

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x - 1

Question 54

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(2x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 55

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² von x = 0 bis x = 2 ist:

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

16/3

Question 56

Die Funktion f(x) = e^x hat an der Stelle x = 0:

Accepted Answer

einen Wendepunkt

Answer

einen Hochpunkt

Answer

keine Extrempunkte

Answer

einen Tiefpunkt

Question 57

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Funktion f(x) = ln(x) zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Die Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Answer

Die Funktion ist für alle x > 0 definiert.

Question 58

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Question 59

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 6x² - 2

Answer

f'(x) = 9x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 60

Die Tangente an die Kurve der Funktion f(x) = x³ + 2x - 1 an der Stelle x = 1 hat die Steigung:

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

3

Answer

7

Question 61

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim_(x→2) 1 / (x - 2)

Answer

lim_(x→∞) 1 / x

Answer

lim_(x→0) sin(x) / x

Answer

lim_(x→1) x² + 1

Question 62

Die Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 hat einen lokalen Tiefpunkt bei x =

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

0

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist monoton steigend?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = cos(x)

Question 64

Die Funktion f(x) = 2x³ - 3x² + 1 hat einen Wendepunkt bei x =

Accepted Answer

1/2

Answer

2

Answer

1

Answer

0