Vektoren in der Mathematik: Interaktive Übungen und Quizze für die 11. Klasse

Question 1

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Nullvektor?

Accepted Answer

$vec{b} = (0, 0, 0)$

Answer

$vec{a} = (1, 0, 2)$

Answer

$vec{c} = (1, 2, 3)$

Answer

$vec{d} = (-2, 4, -2)$

Question 2

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Richtungsvektor der Ebene, die durch die Gleichung $2x + 3y - z = 5$ gegeben ist?

Accepted Answer

(2, 3, -1)

Answer

(3, 2, -1)

Answer

(-2, -3, 1)

Answer

(-3, -2, 1)

Question 3

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt ein Skalarprodukt dar?

Accepted Answer

v1 * v2

Answer

v1 - v2

Question 4

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zu v = (1, -2)?

Accepted Answer

(2, -4)

Answer

(2, 4)

Question 5

Welche der folgenden Mengen beschreibt einen Vektor?

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

[1, 2, 3]

Answer

{1, 2, 3}

Answer

1 + 2i

Question 6

Untersuche, ob die Vektoren u = (1, 2) und v = (2, 4) linear abhängig sind.

Accepted Answer

Ja, sie sind linear abhängig.

Answer

Nein, sie sind linear unabhängig.

Question 7

Welche Aussage zum Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Spalten.

Answer

Der Rang ist immer eine ganze Zahl.

Question 8

Ein Vektor wird durch welche der folgenden Darstellungen definiert?

Accepted Answer

Ordnungspaar mit zwei reellen Zahlen

Answer

Algebraischer Ausdruck mit Variablen

Answer

Periodische Funktion

Answer

Komplexe Zahl mit Imaginäreinheit

Question 9

Welche der folgenden Gleichungen ist eine Vektorgleichung?

Accepted Answer

a · b = 0

Answer

x = y + 3

Answer

sin(x) = cos(y)

Answer

2x - 3y = 5

Question 10

Welches Skalarprodukt ist gleich 0?

Accepted Answer

(2, 3, 1) · (0, 0, 0)

Answer

(1, 2, 3) · (4, 5, 6)

Answer

(3, 1, 2) · (1, 2, 3)

Answer

(4, 5, 6) · (6, 5, 4)

Question 11

Welche Matrix repräsentiert eine Drehung um den Winkel α um die z-Achse?

Accepted Answer

cos(α) -sin(α) 0

Answer

sin(α) cos(α) 0

Answer

0 0 1

Answer

1 0 0

Question 12

Welche Aussage ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren **a** und **b**?

Accepted Answer

Die Gleichung $\lambda_1 \mathbf{a} + \lambda_2 \mathbf{b} = \mathbf{0} \space (\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R})$ hat nur die triviale Lösung $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$.

Answer

Die Vektoren **a** und **b** haben dieselbe Richtung.

Answer

Die Vektoren **a** und **b** sind orthogonal zueinander.

Answer

Die Determinante der Matrix $\begin{pmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} \end{pmatrix}$ ist ungleich null.

Question 13

Löse das folgende lineare Gleichungssystem: $$\begin{align} x_1 - x_2 &= 1 \ 2x_1 + x_2 &= 3 \end{align}$$

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$

Answer

Das System hat keine Lösung.

Question 14

Berechnen Sie das Volumen des von den Vektoren **v1**, **v2** und **v3** aufgespannten Parallelepipeds.

Accepted Answer

V = **v1** x **v2** * **v3**

Answer

V = (**v1** + **v2** + **v3**) * **v1**

Answer

V = **v1** x **v2** + **v3**

Answer

V = (**v1** + **v2**) * **v3**

Question 15

Bestimmen Sie die Länge des Vektors $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 5 \end{pmatrix}$.

Accepted Answer

15

Answer

6

Answer

12

Answer

18

Question 16

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zur $x$-Achse?

Accepted Answer

$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 0 \ 3 \ 0 \end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 5 \end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}$

Question 17

Welche Aussage über den Vektor $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \ 2 \end{pmatrix}$ ist korrekt?

Accepted Answer

Er liegt im dreidimensionalen Raum.

Answer

Er ist ein Einheitsvektor.

Answer

Er ist parallel zur $y$-Achse.

Answer

Er ist ein Nullvektor.

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren beschreibt deren Richtung?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke im Raum.

Answer

Die Länge eines Vektors kann negativ sein.

Answer

Vektoren können nur mit positiven Zahlen multipliziert werden.

Answer

Vektoren können addiert, aber nicht subtrahiert werden.

Question 19

Welcher der folgenden Vektoren ist keine Linearkombination der Vektoren u = (1, 1, 1) und v = (0, 1, 0)?

Accepted Answer

(1, 1, 2)

Answer

(1, 0, 1)

Answer

(0, 1, 1)

Answer

(1, 1, 0)

Question 20

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor zur Ebene x - 2y + 3z = 5?

Accepted Answer

(1, -2, 3)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(0, 1, 0)

Answer

(0, 0, 1)

Question 21

Welche Aussage beschreibt einen Vektor korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine Größe mit Betrag und Richtung.

Answer

Ein Vektor ist eine Strecke mit Länge und Richtung.

Answer

Ein Vektor ist eine Fläche mit Betrag und Richtung.

Answer

Ein Vektor ist ein Punkt mit Betrag und Richtung.

Question 22

Welche Aussage über linear abhängige Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie lassen sich linear durch einen der anderen Vektoren ausdrücken.

Answer

Sie liegen auf einer Geraden.

Answer

Sie spannen einen mehrdimensionalen Raum auf.

Answer

Sie sind immer senkrecht zueinander.

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt den Einheitsvektor in Richtung des Vektors $$\vec{v} = (a, b, c)$$?

Accepted Answer

$$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$$

Answer

$$\vec{e} = \frac{1}{||\vec{v}||}$$

Answer

$$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{(a + b + c)}$$

Answer

$$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

Question 24

Welche der folgenden Aussagen ist für das Skalarprodukt zweier Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Es ist eine Zahl.

Answer

Es ist ein Vektor.

Answer

Es ist eine Matrix.

Answer

Es ist ein Tensor.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Linearkombination von Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Sie ist ein Vektor, der aus einer linearen Kombination von Vektoren gebildet wird.

Answer

Sie ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Sie ist eine Matrix, die die Vektoren als Spaltenvektoren enthält.

Answer

Sie ist ein Tensor, der die Vektoren als Einheitsvektoren darstellt.

Question 26

Welches der folgenden Objekte **ist** ein Skalarprodukt?

Accepted Answer

Die Fläche des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms

Answer

Der Abstand zwischen zwei Vektoren

Answer

Die Projektion eines Vektors auf einen anderen

Question 27

Wie viele Dimensionen hat ein Vektor im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Question 28

Welcher der folgenden Ausdrücke ist **keine** lineare Kombination von Vektoren?

Accepted Answer

a = b / c

Answer

a = b + c + d

Answer

a = b * c

Question 29

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor? Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1.

Accepted Answer

(1, 0, 0)

Answer

(2, 1, 0)

Answer

(3, 2, 1)

Answer

(0, 1, 1)

Question 30

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zu a = (3, 4)? Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie dieselbe Richtung haben.

Accepted Answer

(6, 8)

Answer

(2, 3)

Answer

(1, 2)

Answer

(0, 0)

Question 31

Welche Eigenschaft trifft auf Vektoren zu?

Accepted Answer

Betrag und Richtung

Answer

Nur in einer Ebene liegend

Answer

Immer parallel

Answer

Immer senkrecht

Question 32

Was besagt die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Nur Nullvektor als Linearkombination

Answer

Ein Vektor als Linearkombination der anderen

Answer

Gleicher Betrag

Answer

Parallelität

Question 33

Welcher der folgenden Vektoren hat die Länge 1?

Accepted Answer

v = (1/√2, 1/√2)

Answer

v = (2, 3)

Answer

v = (0, 1)

Question 34

Sind die Vektoren u = (1, 2, 3), v = (2, 3, 4) und w = (3, 4, 5) linear abhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, nur u und v sind linear abhängig

Answer

Die Abhängigkeit kann nicht eindeutig bestimmt werden

Answer

Nein

Question 35

Welche Komponenten hat der Vektor v = 3i + 4j - 2k?

Accepted Answer

x = 3, y = 4, z = -2

Answer

x = -3, y = -4, z = 2

Answer

x = 4, y = 3, z = 2

Answer

x = -2, y = 4, z = 3

Question 36

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt einen Vektor?

Accepted Answer

Eine gerichtete Strecke mit Betrag und Richtung

Answer

Eine Gleichung

Answer

Eine Zahl

Answer

Ein Punkt

Question 37

Welches Symbol wird verwendet, um einen Vektor darzustellen?

Accepted Answer

Pfeil über einem Buchstaben

Answer

Zahlenpaar in Klammern

Answer

Kreis mit Pfeil

Answer

Buchstabe ohne Pfeil

Question 38

Welche der folgenden Operationen kann mit Vektoren durchgeführt werden?

Accepted Answer

Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Potenzieren und Logarithmieren

Answer

Nur Addition und Subtraktion

Answer

Multiplikation und Division

Question 39

Welches Koordinatensystem wird zur Darstellung von Vektoren verwendet?

Accepted Answer

Kartesisches Koordinatensystem

Answer

Kugelkoordinatensystem

Answer

Polarkoordinatensystem

Answer

Zylinderkoordinatensystem

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Vektoren können mit beliebigen Faktoren skaliert werden

Answer

Vektoren können nur in eine Richtung weisen

Answer

Vektoren können nur addiert werden

Answer

Vektoren haben immer eine Länge von 1

Question 41

Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt die Länge eines Vektors?

Accepted Answer

Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten

Answer

Quadrat der Länge einer Komponente

Answer

Betrag der Summe der Komponenten

Question 42

Welche Eigenschaft beschreibt einen Vektor?

Accepted Answer

Richtung

Answer

Volumen

Answer

Dichte

Answer

Temperatur

Question 43

Welche Operation ist mit Vektoren möglich?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Quadrieren

Answer

Wurzelziehen

Answer

Division

Question 44

Wann sind zwei Vektoren linear abhängig?

Accepted Answer

Wenn sie parallel und Vielfache voneinander sind

Answer

Wenn sie orthogonal sind

Answer

Wenn ihre Längen gleich sind

Question 45

Welche Matrix dreht einen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn?

Accepted Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 46

Welcher Vektor ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1/√2, 1/√2)

Answer

(0, 1)

Answer

(2, 3)

Answer

(1, 2, 3)

Question 47

Was ist das Skalarprodukt (3, 4) · (1, 2)?

Accepted Answer

11

Answer

2

Answer

-10

Answer

5

Question 48

Welcher Vektor hat die gleiche Richtung wie (2, -1)?

Accepted Answer

(4, -2)

Answer

(1, -2)

Answer

(2, 1)

Answer

(-2, 1)

Question 49

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor zur Ebene, die durch die Gleichung x + 2y - z = 5 gegeben ist?

Accepted Answer

( 1, 2, -1 )

Answer

( 0, 1, 0 )

Answer

( 1, 0, 0 )

Answer

( 0, 0, 1 )

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind immer linear unabhängig

Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig

Answer

Die Summe zweier linear abhängiger Vektoren ist linear unabhängig

Answer

Der Nullvektor ist ein linearer Kombinationsvektor jedes Vektorsystems

Question 51

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(( rac{1}{sqrt{14}} ), ( -rac{2}{sqrt{14}} ), ( rac{3}{sqrt{14}} ))

Answer

( 1, 1, 1 )

Answer

( 0, 0, 1 )

Answer

( 2, 4, 6 )

Question 52

Welcher der folgenden Vektoren ist der Einheitsvektor in Richtung von ( (2,  3) )?

Accepted Answer

( rac{(2}{sqrt{13}},  rac{3}{sqrt{13}} )

Answer

( (1,  1) )

Answer

( (2,  3) )

Question 53

Sind die Vektoren ( (1,  2,  3) ) und ( (2,  4,  6) ) kollinear?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur wenn ( k = 6 )

Answer

Nur wenn ( k = 3 )

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Der Nullvektor hat eine Länge ungleich Null.

Answer

Vektoren können mit Skalarwerten multipliziert werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Der Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren ist kleiner als das Produkt ihrer Längen.

Question 55

Welche der folgenden Darstellungen beschreibt einen Vektor, der parallel zur x-Achse ist?

Accepted Answer

( (a,  0,  0) )

Answer

( (0,  0,  a) )

Answer

( (0,  a,  0) )

Answer

( (a,  a,  a) )

Question 56

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit Skalarwerten

Answer

Subtraktion

Question 57

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zu $\vec{v} = (2,3)$?

Accepted Answer

(4,6)

Answer

(-2,-3)

Answer

(3,4)

Answer

(1,2)

Question 58

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

$ (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$

Answer

(2,3)

Answer

(0,1)

Answer

(1,0)

Question 59

Welcher der folgenden Punkte ist eine gültige Definition für einen Vektor?

Accepted Answer

Eine gerichtete Strecke im Raum

Answer

Eine Zahl mit Vorzeichen

Answer

Ein Punkt im Raum

Question 60

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 2)

Answer

(2, 0)

Question 61

Eine Kraft von 10 N wirkt schräg nach unten mit einem Winkel von 45° zur Horizontalen. Wie groß ist die vertikale Komponente der Kraft?

Accepted Answer

7,07 N

Answer

5 N

Answer

10 N

Answer

14,14 N

Question 62

Berechne den Betrag des Vektors **v** = (2, -3).

Accepted Answer

√13

Answer

6

Answer

-1

Answer

5

Question 63

Sind die Vektoren **v1** = (1, 2) und **v2** = (3, 6) linear abhängig?

Accepted Answer

Ja, da **v2** = 3·**v1** ist.

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn k = 3 ist

Answer

Nur, wenn k = 2 ist

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Sie haben einen Betrag und eine Richtung.

Answer

Sie haben keine Länge.

Answer

Sie sind immer parallel zu den Koordinatenachsen.

Answer

Sie können nur in zwei Dimensionen existieren.