Lineare Gleichungssysteme: Online-Quizze für Studierende der Angewandten Informatik

Question 1

Welches der folgenden Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein direktes Verfahren?

Accepted Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Richardson-Verfahren

Question 2

Was ist das Gauß-Seidel-Verfahren?

Accepted Answer

Ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, bei dem einzelne Variablen nacheinander aktualisiert werden.

Answer

Ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, bei dem die Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix umgeformt wird.

Answer

Eine Methode zur Bestimmung des Rangs einer Matrix.

Answer

Eine Methode zur Invertierung einer Matrix.

Question 3

Was ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind.

Answer

Eine rechteckige Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind.

Answer

Eine rechteckige Matrix, bei der alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind.

Answer

Eine Matrix, bei der alle Elemente gleich 0 sind.

Question 4

Was ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist.

Answer

Eine quadratische Matrix, deren Determinante gleich 1 ist.

Answer

Eine rechteckige Matrix, deren Spalten normiert sind.

Answer

Eine rechteckige Matrix, deren Zeilen normiert sind.

Question 5

Welches Kriterium entscheidet über die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens?

Accepted Answer

Spektralradiuskriterium

Answer

Zeilensummenkriterium

Answer

Spaltensummenkriterium

Answer

Residuenkriterium

Question 6

Welche Anwendung linearer Gleichungssysteme ist in der Elektrotechnik üblich?

Accepted Answer

Berechnung elektrischer Spannungen in komplexen Schaltungen

Answer

Analyse von Schwingungen in mechanischen Systemen

Answer

Vorhersage von Wetterereignissen

Answer

Optimierung von Produktionsabläufen in der Fertigung

Question 7

Was versteht man unter der Kondition einer Matrix und wie beeinflusst sie die numerische Stabilität direkter Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrix misst ihre Empfindlichkeit gegenüber kleinen Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Die Kondition einer Matrix gibt die Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems an.

Answer

Die Kondition einer Matrix bestimmt die Größe der Matrix.

Answer

Die Kondition einer Matrix hat keinen Einfluss auf die numerische Stabilität direkter Lösungsverfahren.

Question 8

Welche der folgenden Methoden ist KEINE direkte Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 9

Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Was ist der Rang der zugehörigen Koeffizientenmatrix?

Accepted Answer

Kleiner als die Anzahl der Variablen

Answer

Immer gleich 0

Answer

Größer als die Anzahl der Variablen

Answer

Gleich der Anzahl der Variablen

Question 10

Welche Aussage über die Gauß-Elimination ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Gauß-Elimination kann nur für quadratische Matrizen angewendet werden.

Answer

Die Gauß-Elimination kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.

Answer

Die Gauß-Elimination führt eine Matrix in Zeilenstufenform um.

Question 11

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist besonders effizient für sehr große, dünn besetzte Matrizen?

Accepted Answer

Iterative Methoden

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 12

Was beschreibt die LU-Zerlegung korrekt?

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung zerlegt eine Matrix in eine untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U.

Answer

Die LU-Zerlegung berechnet die Inverse einer Matrix.

Question 13

Was ist der Unterschied zwischen der Jacobi-Iteration und der Gauss-Seidel-Iteration?

Accepted Answer

Die Gauss-Seidel-Iteration nutzt die in der aktuellen Iteration bereits berechneten Werte der Variablen.

Answer

Die Gauss-Seidel-Iteration benötigt mehr Speicherplatz als die Jacobi-Iteration.

Answer

Die Jacobi-Iteration ist schneller als die Gauss-Seidel-Iteration.

Question 14

Welche Bedingung muss eine Matrix erfüllen, damit die LU-Zerlegung ohne Pivot-Operationen durchgeführt werden kann?

Accepted Answer

Die Matrix muss regulär sein und alle ihre Hauptminoren müssen ungleich Null sein.

Answer

Die Matrix muss orthogonal sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Question 15

Welche Aussage über die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems ist richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder mehrere Lösungen haben.

Answer

Lineare Gleichungssysteme haben immer mindestens eine Lösung.

Answer

Lineare Gleichungssysteme haben immer genau eine Lösung.

Question 16

Welche der folgenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme basiert auf dem Prinzip der sukzessiven Substitution?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Seidel-Iteration

Question 17

Welcher der folgenden Schritte ist NICHT Teil des Gauß-Jordan-Eliminationsverfahrens?

Accepted Answer

Multiplikation einer Zeile mit einem beliebigen Faktor ungleich null

Answer

Setzen einer Zeile auf Null

Answer

Vertauschen von Zeilen

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix eine volle Rangmatrix ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix mehr Zeilen als Spalten hat.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die erweiterte Koeffizientenmatrix eine Pivotspalte in jeder Zeile hat.

Question 19

Welche Aussage über die Jacobi-Iteration ist richtig?

Accepted Answer

Es handelt sich um eine iterative Methode, die eine Anfangsschätzung für die Lösung erfordert.

Answer

Es ist eine direkte Methode, die keine Anfangsschätzung erfordert.

Answer

Es konvergiert immer gegen die eindeutige Lösung.

Question 20

Welche der folgenden Matrizen ist eine volle Rangmatrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[1, 2], [3, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 21

Welche Aussage über die Gauß-Seidel-Iteration ist falsch?

Accepted Answer

Es konvergiert immer gegen die eindeutige Lösung.

Answer

Es handelt sich um eine iterative Methode, die eine Anfangsschätzung benötigt.

Answer

Es ist effizienter als die Jacobi-Iteration für diagonal dominante Matrizen.

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen stellt ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen dar?

Accepted Answer

x + 2y - 3z = 5

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Answer

sin(x) + cos(y) - e^z = 0

Answer

e^x + ln(y) + z^2 = 1

Question 23

Welche der folgenden Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist für große, dünn besetzte Matrizen am besten geeignet?

Accepted Answer

Iterative Methoden (z.B. Jacobi- oder Gauß-Seidel-Iteration)

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über konsistente lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Sie haben mindestens eine Lösung.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie haben keine Lösung.

Answer

Sie haben immer mehrere Lösungen.