Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Studierende der Angewandten Informatik

Question 1

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, zu der eine Matrix keine proportionalen Vektorlösungen besitzt.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der bei Multiplikation mit einer Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt.

Answer

Jede Matrix besitzt mindestens einen Eigenwert.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen ist für den Eigenwert λ einer Matrix A richtig?

Accepted Answer

λ ist eine Lösung des charakteristischen Polynoms von A.

Answer

λ ist eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte.

Answer

λ ist eine Zahl, die das Verhältnis von Eigenvektor zu Eigenraum darstellt.

Answer

λ ist ein Vektor, der orthogonal zum zugehörigen Eigenvektor ist.

Question 3

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]. Welcher der folgenden Werte ist ein Eigenwert von A?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

5

Answer

7

Question 4

Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Sie hat n linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Sie hat n Eigenwerte.

Answer

Sie ist eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie ist eine invertierbare Matrix.

Question 5

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind nur für quadratische Matrizen definiert.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Question 6

Was ist die geometrische Bedeutung von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie geben die Richtung der Linearkombinationen an, die zum Eigenwert gehören.

Answer

Sie geben die Länge der Linearkombinationen an, die zum Eigenwert gehören.

Answer

Sie geben den Skalar der Linearkombinationen an, die zum Eigenwert gehören.

Answer

Sie geben den Winkel zwischen den Linearkombinationen an, die zum Eigenwert gehören.

Question 7

Welche Aussage über Eigenwerte einer Matrix A beschreibt deren Eigenschaft präzise?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Zahlen, für die gilt: det(A - λI) = 0, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Answer

Eigenwerte sind die Zahlen, für die gilt: det(A) = 0.

Answer

Eigenwerte sind die Zahlen, für die gilt: tr(A) = 0, wobei tr die Spur der Matrix ist.

Answer

Eigenwerte sind die Zahlen, für die gilt: A ist invertierbar.

Question 8

Wie lautet die Formel für das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

det(A + λI)

Answer

tr(A + λI)

Answer

tr(A - λI)

Question 9

Nennen Sie das Kriterium, das erfüllt sein muss, damit eine Matrix diagonalisierbar ist.

Accepted Answer

Zu jedem Eigenwert existiert ein linear unabhängiger Eigenvektor.

Answer

Die Matrix besitzt n verschiedene Eigenwerte.

Answer

Die Matrix besitzt n paarweise verschiedene Eigenwerte.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Question 10

Welche Transformationsart kann auf eine symmetrische Matrix angewendet werden, um sie zu diagonalisieren?

Accepted Answer

Orthogonale Transformation

Answer

Ähnlichkeitstransformation

Answer

Scherungstransformation

Answer

Dilatationstransformation

Question 11

Was versteht man unter einer Jordanmatrix?

Accepted Answer

Eine Matrix, die in Blöcke mit Eigenwerten auf der Hauptdiagonale zerlegt werden kann

Answer

Eine Matrix, die nur Eigenwerte auf der Hauptdiagonale hat

Answer

Eine Matrix, die nur 1er und 0er enthält

Answer

Eine Matrix, die nicht diagonalisierbar ist

Question 12

Welche Aussage über die Spur einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte

Answer

Die Spur ist gleich dem Produkt der Eigenwerte

Answer

Die Spur ist gleich der Determinante

Answer

Die Spur ist gleich dem Rang

Question 13

Wie wird eine Vandermonde-Matrix definiert?

Accepted Answer

Eine Matrix, deren Zeilenvektoren die Potenzen einer festen Zahl sind

Answer

Eine Matrix, deren Spaltenvektoren die Potenzen einer festen Zahl sind

Answer

Eine Matrix, deren Hauptdiagonale aus 1er besteht

Answer

Eine Matrix, deren Nebendiagonale aus 1er besteht

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Beziehung zwischen einer Matrix **A**, einem Eigenwert **λ** und einem zugehörigen Eigenvektor **v**?

Accepted Answer

**Av** = **λv**

Answer

**v** = -**λA**

Answer

**v** = **λA**

Answer

**A²v** = **λv**

Question 15

Was versteht man unter dem charakteristischen Polynom einer Matrix **A**?

Accepted Answer

**det**(**A** - **λI**) = 0

Answer

**tr**(**A** - **λI**) = 0

Answer

**tr**(**A** + **λI**) = 0

Answer

**det**(**A** + **λI**) = 0

Question 16

Wie lassen sich die Eigenwerte einer Matrix **A** bestimmen?

Accepted Answer

Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Answer

Determinante von **A**

Answer

Rang von **A**

Answer

Spur von **A**

Question 17

Was versteht man unter dem Eigenraum zu einem Eigenwert **λ**?

Accepted Answer

Vektorraum aller Eigenvektoren zu **λ**

Answer

Nullraum von **A + λI**

Answer

Untervektorraum des Kernraumes von **A - λI**

Answer

Bildraum von **A - λI**

Question 18

Wie lautet die Diagonalform einer Matrix **A** mit Eigenwerten **λ₁** und **λ₂**?

Accepted Answer

[**λ₁** 0; 0 **λ₂**]

Answer

[**λ₁** **λ₂**; 0 0]

Answer

[**λ₂** 0; 0 **λ₁**]

Answer

[**λ₁** 1; 0 **λ₂**]

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms.

Answer

Eigenwerte sind immer negative Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind die Diagonalelemente einer diagonalisierbaren Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Question 20

Gegeben sei die Matrix A = [[1, 2], [2, 1]]. Ist A diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur, wenn die Determinante von A gleich 0 ist

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn die Spur von A gleich 0 ist

Question 21

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[3, 2], [-1, 1]]

Question 22

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]. Bestimmen Sie die Matrix P, die A diagonalisiert.

Accepted Answer

P = [[1/√2, 1/√2], [-1/√2, 1/√2]]

Answer

P = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

P = [[2, 1], [-1, 2]]

Answer

P = [[1, 2], [2, 1]]

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren sind stets normiert.

Answer

Eigenvektoren sind charakteristisch für eine Matrix.

Answer

Eigenvektoren bilden eine Basis für den Eigenraum.

Question 24

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert λ = 0?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[3, 2], [-1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Question 25

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Lösen von Differentialgleichungssystemen

Answer

Optimierung von Funktionen

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Faktorisierung von Polynomen

Question 26

Die Eigenwerte einer Matrix A mit reellen Einträgen sind immer:

Accepted Answer

reell oder komplex konjugiert

Answer

reell

Answer

komplex

Answer

rational

Question 27

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist:

Accepted Answer

Spur der Matrix

Answer

Eigenraum der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Question 28

Berechne die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

λ1 = 1, λ2 = 3

Answer

λ1 = 0, λ2 = 4

Answer

λ1 = 2, λ2 = 1

Answer

λ1 = -1, λ2 = -3

Question 29

Welche Aussage über die Matrix A = [[1, 2], [0, 1]] ist korrekt?

Accepted Answer

A ist diagonalisierbar

Answer

A hat nur einen Eigenvektor

Answer

A ist nicht diagonalisierbar

Answer

A hat keine reellen Eigenwerte

Question 30

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 2]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Answer

[[3, 0], [0, 3]]

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig

Answer

Eigenwerte sind immer reell

Answer

Eigenvektoren sind orthogonal zueinander

Answer

Eigenwerte sind immer positiv

Question 32

Welche Aussage über die Dimension des Eigenraums ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension des Eigenraums ist gleich der Vielfachheit des Eigenwerts

Answer

Die Dimension des Eigenraums ist gleich dem Rang der Matrix

Answer

Die Dimension des Eigenraums ist gleich der Anzahl der Eigenwerte

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren können immer als Nullvektor dargestellt werden.

Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen in Vielfache ihrer selbst transformiert.

Answer

Die Richtung eines Eigenvektors bleibt nach einer linearen Transformation erhalten.

Question 34

Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

Das Polynom, dessen Nullstellen die Eigenwerte von A sind.

Answer

Das Polynom, das die Determinante von (A - λI) darstellt, wobei λ ein Skalar und I die Einheitsmatrix ist.

Answer

Das Polynom, das die Eigenvektoren von A darstellt.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen zur Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn alle ihre Eigenwerte gleich sind.

Answer

Alle quadratischen Matrizen sind diagonalisierbar.

Question 36

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Question 37

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix können komplex sein.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix können mehrfach vorkommen.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer reell.

Question 38

Bestimmen Sie den Eigenwert λ der Matrix A = [[2, 1], [0, 2]], wenn der zugehörige Eigenvektor v = [1, 0] ist.

Accepted Answer

λ = 2

Answer

λ = 0

Answer

λ = 1

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über die Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Analyse von dynamischen Systemen und zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet.

Answer

Eigenwerte und Eigenvektoren werden nur für die Diagonalisierung von Matrizen verwendet.

Question 40

Wenn die Matrix A diagonalisierbar ist, wie lautet die Diagonalmatrix D, die durch die Diagonalisierung von A entsteht?

Accepted Answer

D enthält die Eigenwerte von A auf der Diagonalen.

Answer

D enthält die Eigenvektoren von A auf der Diagonalen.

Answer

D enthält die Determinante von A auf der Diagonalen.

Answer

D enthält die Inverse von A auf der Diagonalen.

Question 41

Wie kann man die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren einer Matrix A bestimmen?

Accepted Answer

Durch die Bestimmung der algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte.

Answer

Durch die Berechnung der Determinante von A.

Answer

Durch die Bestimmung der geometrischen Vielfachheit der Eigenwerte.

Question 42

Was bedeutet es, wenn die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts kleiner ist als seine algebraische Vielfachheit?

Accepted Answer

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix ist singulär.

Answer

Die Matrix ist invertierbar.

Question 43

Was ist der Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] zum Eigenvektor v = [1, 1]?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix hat immer so viele verschiedene Eigenwerte wie Zeilen.

Answer

Ein Eigenwert kann Null sein.

Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix.

Question 45

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix B = [[0, 1], [-1, 0]].

Accepted Answer

λ² + 1

Answer

λ² - 1

Answer

λ² - λ + 1

Answer

λ² + λ + 1

Question 46

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der seine Richtung bei der Multiplikation mit der Matrix nicht ändert.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen Spalten der Matrix ist.

Answer

Ein Vektor, der bei der Multiplikation mit der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird.

Question 47

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Die Matrix muss linear unabhängige Eigenvektoren besitzen, die den gesamten Vektorraum aufspannen.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Determinante der Matrix muss ungleich Null sein.

Question 48

Gegeben sei die Matrix C = [[3, -2], [4, -1]]. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von C?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[2, 1]

Answer

[0, 1]

Question 49

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor gibt die Richtung an, in der eine lineare Transformation durch die Matrix nur eine Skalierung bewirkt.

Answer

Ein Eigenvektor spannt den Nullraum der Matrix auf.

Question 50

Welche Aussage trifft auf eine Matrix zu, deren Eigenwerte alle verschieden sind?

Accepted Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix ist nicht invertierbar.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Answer

Die Determinante der Matrix ist Null.

Question 51

Wofür werden Eigenwerte und Eigenvektoren in der Praxis verwendet?

Accepted Answer

Zur Lösung von Differentialgleichungen, in der Datenanalyse (z. B. Hauptkomponentenanalyse), in der Bildverarbeitung und vielen weiteren Bereichen.

Answer

Zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken.

Question 52

Wie viele Eigenwerte hat eine 3x3-Matrix mindestens?

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

0

Question 53

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A = ((2, 1), (-1, 2)).

Accepted Answer

2, 3

Answer

1, -1

Answer

-2, -3

Answer

0, 1

Question 54

Bestimmen Sie den Eigenvektor zum Eigenwert λ = 2 der Matrix A = ((2, 1), (-1, 2)).

Accepted Answer

((1), (1))

Answer

((0), (1))

Answer

((-1), (1))

Answer

((1), (-1))

Question 55

Ist die Matrix A = ((1, 2), (3, 4)) diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur wenn der Eigenwert λ = 0 ist

Answer

Nein

Answer

Nur wenn der Eigenwert λ ≠ 0 ist

Question 56

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix A = ((2, -1), (1, 2)).

Accepted Answer

λ^2 - 4λ + 3

Answer

λ^2 - 3λ + 4

Answer

λ^2 + 4λ + 3

Answer

λ^2 + 3λ + 4

Question 57

Die Matrix A = ((2, 1), (3, 2)) besitzt einen mehrfachen Eigenwert. Welchen?

Accepted Answer

λ = 2

Answer

λ = 3

Answer

λ = 1

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist wahr?

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind stets orthogonal.

Answer

Sie besitzen immer den Betrag 1.

Answer

Sie sind immer normiert.

Question 59

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = ((3, 2), (-2, 1)).

Accepted Answer

Eigenwert λ₁ = 2, Eigenvektor v₁ = ((1), (1)), Eigenwert λ₂ = 1, Eigenvektor v₂ = ((2), (-1))

Answer

Eigenwert λ₁ = 1, Eigenvektor v₁ = ((1), (1)), Eigenwert λ₂ = 2, Eigenvektor v₂ = ((2), (-1))

Answer

Eigenwert λ₁ = 2, Eigenvektor v₁ = ((2), (-1)), Eigenwert λ₂ = 1, Eigenvektor v₂ = ((1), (1))

Question 60

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = ((1, 2), (2, 1))

Answer

A = ((1, 0), (0, 1))

Answer

A = ((2, 3), (-3, 2))

Question 61

Die Matrix A = ((2, -1), (1, 2)) ist diagonalisierbar. Bestimmen Sie die Diagonalmatrix D und die Transformationsmatrix P.

Accepted Answer

D = ((2, 0), (0, 1)), P = ((1, -1), (1, 1))

Answer

D = ((2, 0), (0, 1)), P = ((-1, 1), (1, 1))

Answer

D = ((1, 0), (0, 2)), P = ((1, 1), (1, -1))

Answer

D = ((1, 0), (0, 2)), P = ((-1, 1), (1, -1))

Question 62

Welche Aussage über die Eigenvektoren einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer normiert.

Answer

Sie spannen den Vektorraum auf.

Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie besitzen den Betrag 1.