Folgen und Reihen: Online-Quizzes für die Qualifikationsphase 2 im Fachgymnasium

Question 1

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $$sumlimits_{n=1}^inftyrac{(-1)^{n+1}}{sqrt{n}}$$. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise und wenden Sie die Leibniz'sche Alternierende Reihenprobe an.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert nach der Leibniz'schen Alternierenden Reihenprobe.

Answer

Die Reihe konvergiert, da die Folgenglieder gegen 0 konvergieren.

Answer

Die Reihe konvergiert, da sich die alternierenden Vorzeichen der Folgenglieder aufheben.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Folgenglieder gegen 1 konvergieren.

Question 2

Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung für die Funktion f(x) = √(1+x²) um den Entwicklungspunkt x = 0.

Accepted Answer

1 + ½x² - ⅛x⁴

Answer

1 + ½x²

Answer

1 - ½x²

Answer

1 + x + ½x² - ⅛x⁴

Question 3

Welche der folgenden Reihen konvergiert absolut?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n - 1) / n

Question 4

Welche Aussage über die geometrische Reihe ∑(n=1 bis ∞) 2^n ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist nur für |x| < 1 konvergent.

Answer

Sie ist für alle x ∈ ℝ konvergent.

Answer

Sie ist nur für |x| > 1 konvergent.

Answer

Sie ist für alle x ∈ ℝ außer x = 0 konvergent.

Question 5

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1/(x^2 - 1) ist richtig?

Accepted Answer

Sie hat zwei Polstellen.

Answer

Sie hat keine Polstellen.

Answer

Sie hat eine Polstelle.

Answer

Sie hat unendlich viele Polstellen.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über die Folge (a_n) mit a_n = n / (n + 1) ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist monoton wachsend und konvergent.

Answer

Sie ist monoton fallend und konvergent.

Answer

Sie ist monoton wachsend und divergent.

Answer

Sie ist monoton fallend und divergent.

Question 7

Welche Aussage über die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (cos(n) / n^2) ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist absolut konvergent.

Answer

Sie ist bedingt konvergent.

Answer

Sie ist divergent.

Answer

Ihre Konvergenz lässt sich nicht bestimmen.

Question 8

Welche der folgenden Folgen konvergiert?

Accepted Answer

$a_n = rac{1}{n}$

Answer

$a_n = (-1)^n$

Answer

$a_n = n^2$

Answer

$a_n = sin(n)$

Question 9

Welche Aussage über Taylorreihen ist **korrekt**?

Accepted Answer

Sie liefern eine lokale Approximation einer Funktion.

Answer

Sie konvergieren immer für alle reellen Zahlen x.

Answer

Sie sind nur für Polynomfunktionen definiert.

Answer

Sie liefern immer eine exakte Darstellung der Funktion.

Question 10

Bestimmen Sie die Taylorreihe zweiter Ordnung für die Funktion $f(x) = e^x$ um den Punkt $x_0 = 0$.

Accepted Answer

1 + x + x^2

Answer

1 + x + x^2 + x^3

Answer

e + x + x^2

Answer

e + x + x^2 + x^3

Question 11

Welches Integral stellt die Länge des Graphen der Funktion $f(x) = x^2$ auf dem Intervall $[0, 1]$ dar?

Accepted Answer

$int_0^1 sqrt{1 + (2x)^2} dx$

Answer

$int_0^1 x^2 dx$

Answer

$int_0^1 rac{1}{x^2} dx$

Answer

$int_0^1 e^x dx$

Question 12

Welche Aussage beschreibt eine Nullfolge korrekt?

Accepted Answer

Ihr Grenzwert ist 0.

Answer

Ihre Funktionswerte konvergieren gegen einen von 0 verschiedenen Wert.

Answer

Ihre Funktionswerte divergieren gegen unendlich.

Answer

Ihre Funktionswerte oszillieren um einen von 0 verschiedenen Wert.

Question 13

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1) / (n^2 - 1).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

-∞

Question 14

Welches Integral entspricht der Summe der ersten n Quadratzahlen?

Accepted Answer

∫ (x^2) dx von 0 bis n

Answer

∫ (x^3) dx von 0 bis n

Answer

∫ (x^4) dx von 0 bis n

Answer

∫ (x^5) dx von 0 bis n

Question 15

Welche Folge ist streng monoton steigend?

Accepted Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = sin(nπ)

Answer

a_n = 1/n

Question 16

Welcher Ausdruck beschreibt die allgemeine Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge?

Accepted Answer

an = a1 * q^(n-1)

Answer

an = a1 * (1 + q)^(n-1)

Answer

an = a1^n

Answer

an = a1 + (n-1) * d

Question 17

Welche Aussage trifft auf eine konvergente Folge zu?

Accepted Answer

Sie besitzt einen endlichen Grenzwert.

Answer

Sie besitzt einen unendlichen Grenzwert.

Answer

Ihre Glieder schwingen zwischen zwei Werten.

Answer

Ihre Glieder nehmen stetig zu.

Question 18

Welche der folgenden Reihen stellt eine geometrische Reihe dar?

Accepted Answer

∑ (1/2)^n

Answer

∑ (n+1)^n

Answer

∑ n^2

Answer

∑ n

Question 19

Welches Integral berechnet den Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x) zwischen a und b?

Accepted Answer

∫a^b f(x) dx

Answer

∫b^a f(x) dx

Answer

∫a^b f(x) dy

Answer

∫b^a f(x) dy

Question 20

Welche Aussage charakterisiert eine Cauchy-Folge?

Accepted Answer

Die Differenz beliebiger Glieder wird beliebig klein.

Answer

Sie konvergiert gegen eine reelle Zahl.

Answer

Ihre Glieder wachsen ins Unendliche.

Answer

Sie besitzt unendlich viele Glieder.

Question 21

Welche Aussage trifft auf die Folge an = n^2 - 2n + 1 zu?

Accepted Answer

Sie ist eine quadratische Folge.

Answer

Sie ist eine geometrische Folge.

Answer

Sie ist eine arithmetische Folge.

Answer

Sie ist keine der oben genannten.

Question 22

Bestimme den Grenzwert der Folge (a_n = (n+1)/n).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 23

Ist die Folge (a_n = √n) monoton wachsend?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

nicht monoton

Answer

nur für n>1

Question 24

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

(a_n = 1/n)

Answer

(a_n = n)

Answer

(a_n = (-1)^n)

Answer

(a_n = 1)

Question 25

Welche Reihe ist divergent?

Accepted Answer

(∑_{n=1}^∞ 1/n)

Answer

(∑_{n=1}^∞ 1/n^2)

Answer

(∑_{n=1}^∞ 1/2^n)

Answer

(∑_{n=1}^∞ (-1)^n / n)

Question 26

Welche Aussage ist richtig?

Accepted Answer

Eine konvergente Folge ist immer beschränkt.

Answer

Eine beschränkte Folge ist immer konvergent.

Answer

Eine monotone Folge ist immer konvergent.

Answer

Eine divergente Folge ist immer unbeschränkt.

Question 27

Bestimme die Asymptote der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1).

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

y = 0

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über Folgen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eine Folge ist vollständig bestimmt durch ihre ersten n Glieder.

Answer

Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge.

Answer

Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.

Answer

Eine Folge heißt divergent, wenn sie einen Grenzwert nicht besitzt.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen stellt keine Folge dar?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = (1+1/x)^x

Question 30

Bestimmen Sie die Summe der ersten 100 Glieder der geometrischen Reihe (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... .

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

1/2

Answer

Unendlich

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über den Nulltest ist korrekt?

Accepted Answer

Der Nulltest prüft, ob ein Grenzwert gleich Null ist.

Answer

Der Nulltest prüft, ob eine Folge konvergiert oder divergiert.

Answer

Der Nulltest prüft, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert.

Answer

Der Nulltest prüft, ob ein Integral konvergiert oder divergiert.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Grenzwertdefinition einer Folge?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ ℕ, sodass |n - N| < ε impliziert |a_n - L| < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |x - a| < δ impliziert |f(x) - L| < ε

Answer

Die Summe aller Folgenglieder bis zum Unendlichen ergibt den Grenzwert

Answer

Der Flächeninhalt unter der Graphen der Funktion f(x) zwischen a und b ergibt den Grenzwert

Question 33

Eine Folge a_n ist konvergent, wenn:

Accepted Answer

ihr Grenzwert existiert und endlich ist

Answer

ihr Grenzwert gegen unendlich geht

Answer

sie monoton ist

Answer

die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern gegen null geht

Question 34

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

1 / x

Answer

-1 / x

Answer

x

Answer

-x

Question 35

Der Integralwert von ∫_(0)^1 e^(2x) dx ist:

Accepted Answer

(e^2 - 1) / 2

Answer

(1 - e^2) / 2

Answer

e^2 - 1

Answer

1 - e^2

Question 36

Welche Aussage beschreibt die Grenzwertdefinition einer Reihe?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ ℕ, sodass |n - N| < ε impliziert |∑_(k=1)^n a_k - L| < ε

Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |x - a| < δ impliziert |f(x) - L| < ε

Answer

Die Summe aller Folgenglieder bis zum Unendlichen ergibt den Grenzwert

Answer

Der Flächeninhalt unter der Graphen der Funktion f(x) zwischen a und b ergibt den Grenzwert

Question 37

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen einen endlichen Wert?

Accepted Answer

a_n = 1 / n

Answer

a_n = n + 1

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = n^2

Question 38

Welche Folge ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = 1 / n

Answer

a_n = n + 1

Question 39

Welche Reihe ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

a_n = (-1)^n * n

Answer

a_n = 1 / n^2

Answer

a_n = n^2

Answer

a_n = 1 / (n + 1)

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x - 1) / (x + 2)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Folge ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der die Folge für unendlich große Werte von n beliebig nahekommt.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist die größte Zahl, die von der Folge angenommen wird.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist die kleinste Zahl, die von der Folge angenommen wird.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Folgenglieder gegen 0 konvergieren.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Folgenglieder alternierende Vorzeichen haben.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Folgenglieder monoton wachsen.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Potenzreihen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Potenzreihe ist eine Reihe, deren Folgenglieder Potenzen einer Variablen x sind.

Answer

Eine Potenzreihe ist eine Reihe, deren Folgenglieder Exponentialfunktionen von x sind.

Answer

Eine Potenzreihe ist eine Reihe, deren Folgenglieder Exponenten einer Variablen x sind.

Question 44

Welche der folgenden Reihen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)

Answer

∑_(n=1)^∞ (x^(2n))

Answer

∑_(n=1)^∞ (e^x)

Answer

∑_(n=1)^∞ ((-1)^n * x^n)

Question 45

Welche der folgenden Folgen ist eine arithmetische Folge?

Accepted Answer

an = 2n + 1

Answer

an = n²

Answer

an = e^n

Answer

an = (-1)^n

Question 46

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

an = 2^(n-1)

Answer

an = n!

Answer

an = (-1)^n

Answer

an = n²

Question 47

Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{1}{x} cdot e^x$.

Accepted Answer

$e^x - \frac{1}{x^2}$

Answer

$\frac{e^x + 1}{x^2}$

Answer

$\frac{e^x}{x}$

Answer

$\frac{1}{x} cdot e^x$

Question 48

Welche Aussage über den Grenzwert der Folge ( a_n = (-1)^n ) ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist -1.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 49

Die Folge ( a_n = rac{n^2 + 1}{n^2 - 1} ) ist:

Accepted Answer

Konvergent gegen 1.

Answer

Konvergent gegen 0.

Answer

Divergent.

Answer

Alternierend.

Question 50

Welche der folgenden Potenzreihen ist die Taylorentwicklung von ( f(x) = e^x ) um den Punkt ( x=0 )?

Accepted Answer

( sum_{n=0}^infty rac{x^n}{n!} ).

Answer

( sum_{n=1}^infty n cdot x^{n-1} ).

Answer

( sum_{n=0}^infty x^n ).

Answer

( sum_{n=1}^infty rac{x^{n-1}}{(n-1)!} ).

Question 51

Welche Aussage trifft auf die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (1 / n²) zu?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe konvergiert alternierend.

Question 52

Welches ist das allgemeine Folgenglied der arithmetischen Folge mit a_1 = 3 und d = -2?

Accepted Answer

a_n = 3 - 2(n - 1)

Answer

a_n = 3 + 2n

Answer

a_n = 3 - 2n

Answer

a_n = 3 + 2(n - 1)

Question 53

Was trifft auf die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (1 / (n * ln(n))) zu?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert alternierend.

Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Question 54

Wie kann man beweisen, dass die Folge (a_n) mit a_n = (n + 1) / (n - 1) beschränkt ist?

Accepted Answer

Abschätzung

Answer

Induktion

Answer

Grenzwertbetrachtung

Question 55

Was ist das Konvergenzkriterium für die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (1 / (n^p))?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert für p > 1.

Answer

Die Reihe konvergiert für p = 1.

Answer

Die Reihe konvergiert für p < 1.

Answer

Die Reihe konvergiert für p = 0.