Vektoren verstehen: Interaktive Quizze für die Qualifikationsphase 1

Question 1

Welche Aussage über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Größe und Richtung

Answer

Größe ohne Richtung

Answer

Richtung ohne Größe

Answer

Liegt parallel zur y-Achse

Question 2

Welche Eigenschaft hat der Nullvektor?

Accepted Answer

Keine Komponenten ungleich Null

Answer

Länge 1

Answer

Parallel zur y-Achse

Answer

Orthogonal zu allen Achsen

Question 3

Welche Operation ist für Vektoren nicht definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation mit einer Zahl

Question 4

Was ist ein Vektor?

Accepted Answer

Ein gerichtetes Größenobjekt

Answer

Ein Punkt im Raum

Answer

Eine Gerade im Raum

Answer

Eine Ebene im Raum

Question 5

Was versteht man unter einer Linearkombination von Vektoren?

Accepted Answer

Summe von Vektoren mit Faktoren

Answer

Differenz von Vektoren

Answer

Produkt von Vektoren

Answer

Quotient von Vektoren

Question 6

Welche geometrische Bedeutung hat die Determinante einer Matrix im Zusammenhang mit Vektoren?

Accepted Answer

Sie gibt das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an

Answer

Sie gibt das Skalarprodukt der Vektoren an

Answer

Sie gibt die Länge des resultierenden Vektors an

Answer

Sie gibt die Richtung des resultierenden Vektors an

Question 7

Überprüfe die Aussage: Die Vektoren a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) und c = (7, 8, 9) sind linear abhängig.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 8

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a = (2, 3) und b = (4, 5).

Accepted Answer

14

Answer

10

Answer

18

Answer

22

Question 9

Welche Aussage über den Vektor v = (1, -1, 2) ist zutreffend?

Accepted Answer

v ist ein Richtungsvektor

Answer

v ist ein Einheitsvektor

Answer

v ist ein Nullvektor

Answer

v ist ein Positionsvektor

Question 10

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1/2, 1/2, 1/2)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(0, 1, 0)

Answer

(3, 4, 0)

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke ist eine vektorielle Gleichung für die Ebene, die durch die Punkte P(1, 2, 3), Q(2, 4, 5) und R(3, 6, 7) verläuft?

Accepted Answer

(x - 1, y - 2, z - 3) = r →a + s →b

Answer

(x - 1, y - 2, z - 3) = r (2, 4, 5) + s (3, 6, 7)

Answer

(x - 1, y - 2, z - 3) = (2, 4, 5) + (3, 6, 7)

Answer

(x - 1, y - 2, z - 3) = (1, 2, 3) + r →a + s →b

Question 12

Gegeben sei der Vektor v = (2, 3) und der Punkt P = (1, 2). Wird der Vektor v am Punkt P angesetzt, welcher Punkt ergibt sich durch die Verschiebung?

Accepted Answer

(3, 5)

Answer

(1, 5)

Answer

(3, 0)

Answer

(1, 0)

Question 13

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor zur Ebene x + 2y - z = 5?

Accepted Answer

[1, 2, -1]

Answer

[-1, -2, 1]

Answer

[2, -1, 1]

Answer

[-2, 1, -1]

Question 14

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren [1, 2] und [2, 3]:

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

60°

Answer

75°

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über die Länge eines Vektors ist falsch?

Accepted Answer

Die Länge eines Vektors kann auch negativ sein.

Answer

Die Länge eines Vektors ist immer eine positive Zahl.

Answer

Die Länge des Nullvektors ist 0.

Answer

Die Länge eines Vektors ist invariant für Drehungen und Verschiebungen.

Question 16

Nennen Sie eine konkrete Anwendung von Vektoren in der Physik und erläutern Sie kurz, wie diese Anwendung funktioniert.

Accepted Answer

Beschreibung der Bewegung eines Objekts

Answer

Berechnung des Volumens eines Würfels

Answer

Darstellung der Farbe eines Pixels

Answer

Ermittlung der Schnittpunkte von Geraden

Question 17

Definiere den Begriff "Vektor" mathematisch korrekt und erläutere den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Skalar.

Accepted Answer

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt mit Größe und Richtung. Ein Skalar hingegen ist eine Größe mit nur einer Größe.

Answer

Ein Vektor wird durch eine Linie dargestellt, während ein Skalar ein Punkt ist.

Answer

Ein Vektor beschreibt eine Bewegung, während ein Skalar eine Größe beschreibt, die sich nicht bewegt.

Answer

Ein Vektor wird durch eine Zahl dargestellt, während ein Skalar durch einen Buchstaben dargestellt wird.

Question 18

Wie lassen sich die Eigenschaften von Vektoren (Richtung, Länge, Addition) am besten grafisch darstellen?

Accepted Answer

Als Pfeile mit unterschiedlicher Länge und Richtung

Answer

Als Punkte in einem Koordinatensystem

Answer

Als Gleichungen wie (x, y)

Answer

Als Zahlen auf einer Zahlengerade

Question 19

Welcher Ausdruck beschreibt einen Vektor im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

1 + 2i + 3j

Answer

x + y + z

Answer

sin(x) + cos(y) + tan(z)

Question 20

Welcher der folgenden Ausdrücke ist eine Linearkombination der Vektoren u = (1, 2, 3) und v = (2, 1, 4)?

Accepted Answer

b = 2u + v = (4, 3, 4)

Answer

a = (3, 3, 7)

Answer

c = (0, 0, 0)

Answer

d = (1, 1, 1)

Question 21

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x - y = 2

Answer

y = 3x - 2

Answer

z = x² + y²

Question 22

Welche Aussage über das Skalarprodukt u · v zweier Vektoren u und v ist richtig?

Accepted Answer

Es ist ein Skalar, der den Winkel zwischen den beiden Vektoren angibt.

Answer

Es ist ein Vektor, der senkrecht zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht.

Answer

Es ist ein Skalar, der den Betrag des Vektorprodukts der beiden Vektoren angibt.

Answer

Es ist ein Vektor, der parallel zu den beiden ursprünglichen Vektoren liegt.

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kugel im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x² + y² + z² = r²

Answer

x² - y² = z

Answer

x + y + z = 0

Answer

y = x² + z²

Question 24

Welche Aussage über den Abstand zweier Punkte A(x1, y1, z1) und B(x2, y2, z2) im dreidimensionalen Raum ist richtig?

Accepted Answer

Er ist die Länge des Vektors, der die beiden Punkte verbindet.

Answer

Er ist die Summe der Abstände der Punkte zur x-Achse.

Answer

Er ist die Differenz der Koordinaten der beiden Punkte.

Answer

Er ist das Quadrat der Länge des Vektors, der die beiden Punkte verbindet.

Question 25

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor **u** = (2, 3)?

Accepted Answer

(4, 6)

Answer

(1, 1, 5)

Answer

(0, 0)

Answer

(-2, -3)

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt zweier Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt kann positiv, negativ oder null sein.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer positiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer negativ.

Answer

Das Skalarprodukt ist nur definiert für Vektoren der gleichen Länge.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über Vektorfunktionen ist richtig?

Accepted Answer

Vektorfunktionen sind Funktionen, deren Werte Vektoren sind.

Answer

Vektorfunktionen können nur in einer Dimension definiert sein.

Answer

Vektorfunktionen haben immer einen Anfangs- und einen Endpunkt.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren sind mathematische Objekte mit Größe und Richtung.

Answer

Vektoren können nur im zweidimensionalen Raum definiert werden.

Answer

Vektoren sind immer parallel zueinander.

Answer

Vektoren werden ausschließlich in der Physik verwendet.

Question 29

Welche Operation mit Vektoren ist möglich?

Accepted Answer

Addition und Subtraktion

Answer

Multiplikation und Division

Answer

Ableitung und Integration

Answer

Potenzieren und Logarithmieren

Question 30

Wann sind zwei Vektoren linear abhängig?

Accepted Answer

Wenn sie parallel oder antiparallel sind.

Answer

Wenn sie senkrecht aufeinandertreffen.

Answer

Wenn ihre Längen gleich sind.

Answer

Wenn ihre Richtungen identisch sind.

Question 31

Wie lautet die Formel für das Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

a · b = |a| |b| cos(α)

Answer

a · b = |a| + |b|

Answer

a · b = |a| - |b|

Answer

a · b = a + b

Question 32

Welche der folgenden Matrizen ist eine Drehmatrix?

Accepted Answer

[[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Question 33

Was versteht man unter einem Vektor?

Accepted Answer

Eine Strecke mit Länge und Richtung

Answer

Eine Gerade mit Länge und Richtung

Answer

Ein Punkt mit Länge und Richtung

Answer

Eine Ebene mit Länge und Richtung

Question 34

Wie viele linear unabhängige Vektoren sind maximal in einem dreidimensionalen Raum möglich?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 35

Was versteht man unter dem Betrag eines Vektors?

Accepted Answer

Seine Länge

Answer

Sein Betrag

Answer

Seine Richtung

Answer

Sein Einheitsvektor

Question 36

Wozu wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren verwendet?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen sind richtig

Answer

Zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms

Answer

Zur Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds

Answer

Zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Question 37

Welcher der folgenden Vektoren ist ein **Einheitsvektor**?

Accepted Answer

(1/√5, 2/√5)

Answer

(0, 1)

Answer

(3, 4)

Answer

(2, -3)

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Vektoren können nur im **zweidimensionalen Raum** dargestellt werden.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Answer

Vektoren haben eine Größe und eine Richtung.

Question 39

Welches der folgenden Paare stellt keinen Vektor dar?

Accepted Answer

(1 + 2)

Answer

(2, 3)

Answer

5 * (1, 2)

Answer

(1, 0, 0)

Question 40

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren (1, 2) und (3, -4).

Accepted Answer

-5

Answer

7

Answer

5

Answer

9

Question 41

Welcher der folgenden Vektoren ist kollinear zum Vektor $\vec{a}=(1, 2, 3)$?

Accepted Answer

$\vec{b}=(2, 4, 6)$

Answer

$\vec{e}=(0, 0, 1)$

Answer

$\vec{c}=(3, 3, 2)$

Answer

$\vec{d}=(1, -2, 3)$

Question 42

Bestimmen Sie, ob die Vektoren $\vec{a}=(1, 0, 2)$, $\vec{b}=(2, 1, 3)$ und $\vec{c}=(3, 2, 4)$ linear abhängig sind.

Accepted Answer

Ja

Answer

Abhängig von der Reihenfolge

Answer

Nein

Answer

Unmöglich zu bestimmen

Question 43

Was ist die beste Beschreibung eines Vektors?

Accepted Answer

Eine Größe mit Betrag und Richtung.

Answer

Eine Größe, die nur durch ihre Richtung definiert ist.

Answer

Eine Größe, die nur durch ihren Betrag definiert ist.

Question 44

Die Punkte A(2|1) und B(4|3) sind gegeben. Welcher Vektor entspricht dem Vektor AB?

Accepted Answer

(2|2)

Answer

(2|-2)

Answer

(-2|2)

Question 45

Die Vektoren a = (1|2) und b = (3|k) sind parallel.  Bestimme den Wert von k.

Accepted Answer

6

Answer

-6

Answer

2

Answer

3

Question 46

Sind die Vektoren a = (1|2) und b = (-2|-4) linear abhängig?

Accepted Answer

Ja, da sie kollinear sind.

Answer

Ja, da sie den gleichen Betrag haben.

Answer

Nein, da sie unterschiedliche Beträge haben.

Answer

Nein, da sie unterschiedliche Richtungen haben.

Question 47

Ein Flugzeug fliegt mit 500 km/h nach Osten. Ein Wind weht mit 50 km/h nach Norden.  Wie groß ist die resultierende Geschwindigkeit des Flugzeugs?

Accepted Answer

Etwa 502,5 km/h in Richtung Nordost

Answer

450 km/h in Richtung Nordost

Answer

500 km/h in Richtung Osten

Answer

550 km/h in Richtung Nordost

Question 48

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit drei Vektoren im dreidimensionalen Raum linear abhängig sind?

Accepted Answer

Sie müssen in einer Ebene liegen.

Answer

Sie müssen paarweise orthogonal zueinander sein.

Answer

Sie müssen den gleichen Betrag haben.

Question 49

Wie viele linear unabhängige Vektoren braucht man mindestens, um den dreidimensionalen Raum vollständig aufzuspannen?

Accepted Answer

3

Answer

Unendlich viele

Answer

1

Answer

2

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Vektoren können beliebig verschoben werden, ohne ihre Richtung oder Länge zu verändern.

Answer

Vektoren können mit einem Skalar multipliziert werden.

Answer

Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung.

Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden.

Question 51

Gegeben sind die Vektoren a = (2, 1) und b = (-1, 3). Berechne den Vektor 2a - b.

Accepted Answer

(5, -1)

Answer

(3, -1)

Answer

(1, -1)

Answer

(1, 5)

Question 52

Welche der folgenden Vektorenpaare sind linear abhängig?

Accepted Answer

a = (1, 2), b = (2, 4)

Answer

a = (1, 2), b = (3, 1)

Answer

a = (2, 1), b = (1, 2)

Answer

a = (1, 0), b = (0, 1)

Question 53

Welcher Vektor lässt sich als lineare Kombination von a = (1, 2) und b = (3, 1) darstellen?

Accepted Answer

c = (5, 5)

Answer

c = (1, 4)

Answer

c = (2, 3)

Answer

c = (4, 3)

Question 54

Ein Punkt P hat die Koordinaten (3, 5). Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung von P zum Punkt Q mit den Koordinaten (1, 2)?

Accepted Answer

(-2, -3)

Answer

(1, 3)

Answer

(4, 7)

Answer

(2, 3)

Question 55

Welche der folgenden Vektorenpaare sind orthogonal zueinander?

Accepted Answer

a = (1, 2), b = (-2, 1)

Answer

a = (3, 1), b = (1, 3)

Answer

a = (2, 0), b = (0, 2)

Answer

a = (1, 1), b = (2, 2)

Question 56

Die Länge des Vektors a = (4, 3) ist:

Accepted Answer

5

Answer

25

Answer

7

Answer

1

Question 57

Welcher Vektor ist der Einheitsvektor in Richtung des Vektors a = (3, 4)?

Accepted Answer

(3/5, 4/5)

Answer

(1, 1)

Answer

(4/5, 3/5)

Answer

(3, 4)

Question 58

Welche Aussage über das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist RICHTIG?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist null, wenn die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

Das Skalarprodukt ist die Summe der Vektorbeträge.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer positiv.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer negativ.

Question 59

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im Raum?

Accepted Answer

r(t) = a + tb

Answer

r(t) = a + b

Answer

r(t) = a - tb

Answer

r(t) = a / t

Question 60

Was ist die Koordinatendarstellung des Vektors **v** = (2, -1, 3)?

Accepted Answer

(2, -1, 3)

Answer

(2, 3, -1)

Answer

(3, 2, -1)

Answer

(-1, 2, 3)

Question 61

Berechnen Sie die Länge des Vektors **w** = (3, 4, -5).

Accepted Answer

√50

Answer

10

Answer

5

Answer

25

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt zweier Vektoren **a** und **b** ist korrekt?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl.

Answer

Das Skalarprodukt ist ein Vektor.

Answer

Das Skalarprodukt ist nur bei orthogonalen Vektoren definiert.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer positiv.

Question 63

Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren **u** = (2, 1, -3) und **v** = (1, 2, 4).

Accepted Answer

(-11, -5, 5)

Answer

(11, 5, -5)

Answer

(5, -11, -5)

Answer

(-5, 11, 5)

Question 64

Welche der folgenden Vektoren ist linear unabhängig?

Accepted Answer

{(1, 2, 3), (0, 1, 1), (1, 0, -1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}

Answer

{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}