Reihen in der Mathematik: Konvergenz und Taylorreihen verstehen

Question 1

Die Taylorreihe für die Funktion f(x) = e^x mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

Accepted Answer

1 + x + x²/2 + x³/3 + ...

Answer

x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...

Answer

e + xe + x²e²/2 + x³e³/3 + ...

Answer

1 - x + x²/2 - x³/3 + ...

Question 2

Eine Taylorreihe ist:

Accepted Answer

eine Potenzreihe, die eine Funktion um einen Punkt entwickelt

Answer

eine Fourierreihe, die eine Funktion in einer Periode entwickelt

Answer

eine Laurentreihe, die eine Funktion mit Singularitäten entwickelt

Answer

eine Mittag-Leffler-Reihe, die eine Funktion in einer komplexen Ebene entwickelt

Question 3

Welche der folgenden Funktionen kann nicht als Taylorreihe entwickelt werden?

Accepted Answer

|x|

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Answer

arctan(x)

Question 4

Die Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x=0 ist:

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^(n-1) * x^(2n-1) / (2n-1)!

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^(2n) / (2n)!

Question 5

Der Restterm einer Taylorreihe ist:

Accepted Answer

die Differenz zwischen der Funktion und ihrer Taylorapproximation

Answer

gleich Null, wenn die Funktion analytisch ist

Answer

kann nur positiv sein

Answer

ist immer kleiner als die Funktion

Question 6

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, deren:

Accepted Answer

Terme alternierend in Vorzeichen sind

Answer

Terme gegen Null konvergieren

Answer

Terme monoton fallen

Answer

Terme beschränkt sind

Question 7

Welche dieser Reihen konvergiert gegen 0?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n^3

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (-1)^n

Question 8

Die Taylorreihe für e^x um den Punkt x=0 ist:

Accepted Answer

Σ (n=0 bis unendlich) x^n/n!

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) x^(n-1)/(n-1)!

Answer

Σ (n=0 bis unendlich) x^n/n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) x^(n+1)/(n+1)!

Question 9

Welche der folgenden Anwendungen von Taylorreihen ist richtig?

Accepted Answer

Alle der genannten Optionen

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Näherung von Funktionen

Question 10

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) r^n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n^2

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (-1)^n

Question 11

Unter welcher Bedingung konvergiert eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

nur wenn |r| < 1

Answer

immer

Answer

nur wenn |r| > 1

Answer

nur wenn |r| = 1

Question 12

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/2^n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n!

Question 13

Welche der folgenden Reihen ist eine Teleskopreihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis unendlich) (n+1)/(n^2+n)

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) n

Answer

Σ (n=1 bis unendlich) sin(n)

Question 14

Welche Aussage zur Konvergenz der geometrischen Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert nur für |q| < 1.

Answer

Sie konvergiert für alle Werte von q.

Answer

Sie divergiert für q = 1.

Answer

Sie konvergiert für q = -1.

Question 15

Gib die Taylorreihe für die Funktion e^x an.

Accepted Answer

1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Answer

x + x^2/2 + x^3/3! + ...

Answer

x - x^2/2 + x^3/3! - ...

Answer

1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...

Question 16

Welche Aussage zur harmonischen Reihe ist richtig?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert.

Answer

Sie ist alternierend.

Answer

Sie ist absolut konvergent.

Question 17

Bestimme die Ableitung von f(x) = e^(sin(x)).

Accepted Answer

e^(sin(x)) * cos(x)

Answer

e^(sin(x)) * sin(x)

Answer

cos(x) * e^(sin(x))

Answer

sin(x) * e^(sin(x))

Question 18

Welche Aussage über Taylorreihen ist richtig?

Accepted Answer

Die Koeffizienten einer Taylorreihe können durch Ableitungen berechnet werden.

Answer

Taylorreihen konvergieren immer.

Answer

Taylorreihen können zur Approximation von Funktionen für alle x-Werte verwendet werden.

Question 19

Welche der folgenden unendlichen Reihen konvergiert?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

Question 20

Was ist die Summe der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

Die Summe existiert nicht.

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1² + 2² + 3² + 4² + ...

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 23

Was ist die Ableitung der Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0?

Accepted Answer

e^x

Answer

e^x + e^x²

Answer

1 + e^x

Answer

0

Question 24

Welche der folgenden Funktionen kann nicht durch eine Taylorreihe im Punkt x = 0 dargestellt werden?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 25

Welche Aussage über Reihen beschreibt ihr Wesen am treffendsten?

Accepted Answer

Reihen sind Folgen von Zahlen, die addiert werden können.

Answer

Reihen konvergieren, wenn ihr Grenzwert eine endliche Zahl ist.

Answer

Konvergente Reihen sind immer auch absolut konvergent.

Answer

Divergente Reihen sind immer auch absolut divergent.

Question 26

Was bestimmt den Konvergenzradius einer Taylorreihe?

Accepted Answer

Der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt und der nächsten Singularität der Funktion

Answer

Das Wurzelkriterium

Answer

Unendlichkeit

Answer

Der Wert 1

Question 27

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) n / (n^2 + 1)

Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) 1 / n

Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) (-1)^n / n

Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) 2^n

Question 28

Welche der folgenden Reihen stellt die Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x = 0 dar?

Accepted Answer

∑ (von n=0 bis unendlich) (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑ (von n=0 bis unendlich) x^n / n!

Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) (-1)^n x^(2n) / n!

Answer

∑ (von n=1 bis unendlich) x^n / n

Question 29

Welche der folgenden Definitionen beschreibt eine Reihe korrekt?

Accepted Answer

Eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Folge von Zahlen, die zu einer Summe addiert werden können.

Answer

Eine endliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Folge von Zahlen, die zu einem Produkt multipliziert werden können.

Question 30

Wie lautet die Formel für die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...

Answer

x + x^2/2 + x^3/3 + x^4/4 + ...

Answer

e + x + x^2/2 + x^3/3 + ...

Answer

e + x + x^2/2 + x^3/3! + ...

Question 31

Welcher Test kann verwendet werden, um den Konvergenzradius einer Taylorreihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Radius-Test

Answer

Cauchy-Folge-Kriterium

Answer

Summenkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 32

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...

Answer

-1 + 1/2 - 1/3 + 1/4 + ...

Question 33

Welche Aussage über die alternierende harmonische Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert gegen eine irrationale Zahl.

Answer

Sie konvergiert gegen unendlich.

Question 34

Wie kann die Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(x) bestimmt werden?

Accepted Answer

Indem die Ableitungen von f(x) an der Stelle x = 0 berechnet und in eine Reihe eingesetzt werden.

Answer

Indem die Stammfunktionen von f(x) an der Stelle x = 0 berechnet und in eine Reihe eingesetzt werden.

Answer

Indem die Integrale von f(x) an der Stelle x = 0 berechnet und in eine Reihe eingesetzt werden.

Answer

Indem die Grenzwerte von f(x) an der Stelle x = 0 berechnet und in eine Reihe eingesetzt werden.

Question 35

Ist die Folge (1/n) konvergent?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Die Konvergenz kann nicht bestimmt werden.

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

Σ (1/n³)

Answer

Σ (n)

Answer

Σ (2^n)

Question 37

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ ((-1)^n/n)

Answer

Σ (1/n³)

Answer

Σ (n²)

Question 38

Wie viele Ableitungen werden benötigt, um die Taylorreihe für f(x) = sin(x) bis zum Grad 4 zu bestimmen?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

3

Question 39

Welche der folgenden Anwendungen ist typisch für Taylorreihen in der Finanzmathematik?

Accepted Answer

Bewertung von Optionen

Answer

Modellierung des exponentiellen Zerfalls

Answer

Berechnung von Integralen

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das Konvergenzverhalten einer numerischen Reihe?

Accepted Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge gegen eine endliche Zahl konvergiert.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge beschränkt ist.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge gegen unendlich strebt.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Partialsummenfolge alterniert.

Question 41

Welcher Satz liefert Informationen über den Konvergenzbereich einer Taylorreihe?

Accepted Answer

Eine Taylorreihe konvergiert nur im Konvergenzintervall ihrer Potenzreihe.

Answer

Eine Taylorreihe konvergiert immer im gesamten Intervall, in dem ihre Potenzreihe konvergiert.

Answer

Eine Taylorreihe konvergiert nie.

Answer

Eine Taylorreihe konvergiert genau dann, wenn ihre Potenzreihe konvergiert.

Question 42

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Question 43

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Question 44

Welche Aussage beschreibt eine Reihe korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Folge von Zahlen, die durch eine Rechenoperation miteinander verbunden sind.

Answer

Eine Reihe ist eine Gleichung, die unendlich viele Lösungen hat.

Answer

Eine Reihe ist eine Funktion, die eine Menge Zahlen auf eine andere Menge Zahlen abbildet.

Question 45

Welche Aussage über die Ableitung einer Taylorreihe ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist immer gleich der ursprünglichen Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe kann verwendet werden, um die Fehlergrenze der Approximation zu bestimmen.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist gleich dem nächsten Glied der Reihe.

Question 46

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(2^n)

Answer

∑(n!)

Answer

∑(1/n)

Answer

∑(n^2)

Question 47

Welche der folgenden Reihen ist keine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑(n^2)

Answer

∑(x^n)

Answer

∑((-1)^n x^n)

Answer

∑((x-a)^n)

Question 48

Welche der folgenden Reihen konvergiert nach dem n-ten-Glied-Test?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/2^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über Taylorreihen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Taylorreihe konvergiert immer für alle Werte des Arguments.

Answer

Eine Taylorreihe ist eine Potenzreihe, die eine Funktion um einen bestimmten Punkt lokal approximiert.

Question 50

Welche der folgenden Reihen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n/n!)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (sin(n)/n)

Question 51

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (2^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n²)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (sin(n)/n)

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über harmonische Reihen (∑(n=1 bis ∞) 1/n) ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind divergent.

Answer

Sie konvergieren gegen π.

Answer

Sie sind konvergent.

Answer

Sie konvergieren gegen 1.

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (sin(n)/n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n²)

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über absolut konvergente Reihen ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind immer konvergent.

Answer

Sie konvergieren immer gegen 0.

Answer

Sie konvergieren immer gegen 1.

Answer

Sie können divergent sein.

Question 55

Welche Aussage über Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist die Summe einer Folge von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist der Quotient einer Folge von Zahlen.

Answer

Eine Reihe ist das Produkt einer Folge von Zahlen.

Question 56

Welche Reihe ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑[n=1 bis ∞] (2/3)^n

Answer

∑[n=1 bis ∞] (sin(n))

Answer

∑[n=1 bis ∞] (1/n!)

Answer

∑[n=1 bis ∞] (n² + 1)

Question 57

Welche Reihe ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑[n=1 bis ∞] (-1)^n / n

Answer

∑[n=1 bis ∞] (1/n!)

Answer

∑[n=1 bis ∞] (n² + 1)

Question 58

Welche Reihe ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

∑[n=0 bis ∞] (x - 1)^n / n!

Answer

∑[n=1 bis ∞] (n² + 1)

Answer

∑[n=1 bis ∞] (sin(n))

Answer

∑[n=1 bis ∞] (1/n!)

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist eine konvergente geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Question 60

Welches der folgenden Integrale kann mithilfe einer Taylorreihe gelöst werden?

Accepted Answer

∫ e^x dx

Answer

∫ x^3 dx

Answer

∫ sin(x) dx

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz der Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + ... ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen ∞.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 15.

Question 62

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

1 + x + x^2 + x^3 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Question 63

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Question 64

Was ist die Definition einer Reihe in der Mathematik?

Accepted Answer

Eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Ein Bruch mit unendlich vielen Termen im Zähler und Nenner.

Answer

Ein Produkt von unendlich vielen Zahlen.

Answer

Eine unendliche Folge von Zahlen.