Grundlagen der Analysis: Online-Quizzes für die Qualifikationsphase 1 im Fachgymnasium

Question 1

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x² - 4) für x gegen 2 von links.

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 2

Beweise, dass es für eine stetige Funktion f(x) auf dem Intervall [0, 1] mit f(0) = -1 und f(1) = 3 mindestens eine Zahl c im Intervall (0, 1) gibt, sodass f(c) = 0.

Accepted Answer

Nach dem Zwischenwertsatz muss es ein c im Intervall (0, 1) geben, sodass f(c) = 0.

Answer

Mit dem Satz von Rolle lässt sich zeigen, dass es ein c im Intervall (0, 1) gibt mit f'(c) = 0.

Answer

Da f(x) stetig ist, ist sie auch monoton.

Answer

Die Aussage lässt sich nicht beweisen, da die Funktion f(x) nicht gegeben ist.

Question 3

Bestimme die Ableitung f'(x) der Funktion f(x) = ln(x) · (x² + sin(x)) an der Stelle x = π/2.

Accepted Answer

f'(π/2) = (2/π) + 2π + cos(π/2)

Answer

f'(π/2) = 0

Answer

f'(π/2) = (1/π) + 2π + cos(π/2)

Question 4

Wenn die zweite Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion f(x) für alle x in einem Intervall I negativ ist, dann ist f(x) in diesem Intervall:

Accepted Answer

konkav

Answer

konvex

Answer

hat keine Wendepunkte

Answer

hat Graphen von f(x) und f'(x), die entgegengesetzt verlaufen

Question 5

Welche Bedingung muss für eine zweimal differenzierbare Funktion f(x) erfüllt sein, damit sie auf einem Intervall konvex ist?

Accepted Answer

f''(x) > 0

Answer

f''(x) < 0

Answer

f'(x) > 0

Answer

f'(x) < 0

Question 6

Bestimme das lokale Minimum der Funktion f(x) = (x - 1)² + 2.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

Die Funktion besitzt kein lokales Minimum.

Question 7

Ermitteln Sie die Ableitung der Betragsfunktion **f(x) = |x|** an der Stelle **x = 0** mittels des Grenzwertverfahrens.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 8

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = |x - 1| an allen Stellen, an denen sie existiert.

Accepted Answer

f'(x) = -1 für x < 1 und f'(x) = 1 für x > 1

Answer

f'(x) = 1 für alle x

Answer

f'(x) = 0 für alle x

Answer

f'(x) ist für alle x nicht definiert

Question 9

Welche Ableitungsregel liegt der folgenden Berechnung zugrunde: f'(x) = (x^3 - 2x + 1)'?

Accepted Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 10

Welche der folgenden Funktionen hat eine negative Ableitung für alle x?

Accepted Answer

f(x) = -x^3 + 2x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x) + 1

Answer

f(x) = e^x - 1

Question 11

Was ist der Wert der Stammfunktion von f(x) = 1 / sqrt(x)?

Accepted Answer

1 / (2 * sqrt(x)) + C

Answer

2 * sqrt(x) + C

Answer

sqrt(x) + C

Answer

1 / sqrt(x) + C

Question 12

Welche der folgenden Integrale entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫[0, 2] x^2 dx

Answer

∫[2, 0] x^2 dx

Answer

2 ∫[0, 2] x dx

Answer

2 ∫[2, 0] x dx

Question 13

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + y = x

Answer

y'' + y' + y = 0

Answer

y' = y^2

Answer

y' + y = y^2

Question 14

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x² - 3x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 2x - 3

Answer

f'(x) = x - 3

Answer

f'(x) = 2x + 3

Answer

f'(x) = x² - 6x + 2

Question 15

Für welche Werte von x ist die Funktion f(x) = |x| nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 1

Answer

Für alle x

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x² + 2x

Answer

f(x) = |x|

Question 17

Welche Aussage über die Stetigkeit der Funktion h(x) = (x + 1)² trifft zu?

Accepted Answer

h(x) ist überall stetig.

Answer

h(x) ist nur an der Stelle x = 0 stetig.

Answer

h(x) ist nirgends stetig.

Answer

h(x) ist nur an der Stelle x = -1 stetig.

Question 18

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine implizite Funktion für die Kurve x² + y² = 25 dar?

Accepted Answer

y = ±√(25 - x²)

Answer

y² = 25 - x²

Answer

x = ±√(25 - y²)

Answer

x² - y² = 25

Question 19

Welche der folgenden Gleichungen ist die Tangentengleichung der Funktion f(x) = x³ - 2x + 1 an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

y = 3x - 2

Answer

y = 0

Answer

y = x³ - 2x + 1

Answer

y = 2x - 1

Question 20

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5 lautet:

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x³ - 4x + 5

Answer

3x² - 2

Answer

x² - 4

Question 21

Welcher der folgenden Punkte ist ein Extrempunkt der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3?

Accepted Answer

(2, 1)

Answer

(0, -3)

Answer

(-2, 1)

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = 1 / x² ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist im Intervall (0, ∞) streng monoton fallend.

Answer

Sie hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.

Answer

Ihr Graph ist eine Parabel.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einer Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Funktionswert f(a) ist definiert und der Grenzwert lim_(x->a) f(x) existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Funktionswert f(a) ist definiert und die Ableitung f'(a) existiert.

Answer

Der Funktionswert f(a) existiert und der Grenzwert lim_(x->a) f(x) existiert, aber ist ungleich f(a).

Question 24

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist auf die Funktion f(x) = x³ - 2x² anwendbar?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Question 25

Welche der folgenden Funktionen besitzt einen Wendepunkt bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² - 2x + 1

Question 26

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x).

Accepted Answer

1 / x

Answer

ln(x²)

Answer

1 / ln(x)

Answer

x

Question 27

Welche der folgenden Folgen ist konvergent gegen 0?

Accepted Answer

a_n = (1 / n) * sin(n)

Answer

a_n = n * sin(n)

Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = n

Question 28

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = x² + 1 zu?

Accepted Answer

f(x) ist stetig und differenzierbar für alle x.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar.

Answer

f(x) ist differenzierbar, aber nicht stetig bei x = 0.

Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar bei x ≠ 0.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sqrt(x)

Question 30

Berechnen Sie den Flächeninhalt unterhalb der Kurve der Funktion f(x) = 2x - x² zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

2/3

Answer

2

Answer

4

Answer

1

Question 31

Berechnen Sie die Ableitung der implizit definierten Funktion x² + y² = 4.

Accepted Answer

y' = -x/y

Answer

y' = -y/x

Answer

y' = y/x

Answer

y' = x/y

Question 32

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^2 - 2x

Answer

x^3 - 4x

Question 33

Welche Aussage über die Funktion f(x) = e^x - 1 ist zutreffend?

Accepted Answer

f(x) ist monoton wachsend

Answer

f(x) ist monoton fallend

Answer

f(x) hat ein lokales Maximum

Answer

f(x) hat einen Wendepunkt

Question 34

Was ist der Grenzwert des Ausdrucks (x² - 4) / (x - 2) für x, das gegen 2 strebt?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0

Answer

unendlich

Question 35

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x² - 4x + 1

Answer

f'(x) = x³ - 2x

Question 36

An welcher Stelle besitzt die Funktion f(x) = sin(x) + cos(x) einen lokalen Extrempunkt?

Accepted Answer

x = π/4

Answer

x = π

Answer

x = π/2

Answer

x = 0

Question 37

Welche Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) = eˣ?

Accepted Answer

F(x) = eˣ + C

Answer

F(x) = eˣ - C

Answer

F(x) = xeˣ

Answer

F(x) = eˣ / x

Question 38

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 9x² - 2

Answer

f'(x) = 3x³ - 2x

Answer

f'(x) = 9x - 2

Answer

f'(x) = x³ - x + 5

Question 39

Was gibt die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a an?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) an der Stelle x = a

Answer

Den Funktionswert von f(x) an der Stelle x = a

Answer

Den Flächeninhalt unter dem Graph von f(x) von x = 0 bis x = a

Question 40

Für welche Werte von x ist die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 streng monoton wachsend?

Accepted Answer

x > 2

Answer

x > 1

Answer

x < 1

Answer

x < 2

Question 41

Berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2.

Accepted Answer

8/3

Answer

2

Answer

4/3

Answer

4

Question 42

Ermittle den folgenden Grenzwert: lim(x->2) (x² - 4)

Accepted Answer

0

Answer

nicht definiert

Answer

4

Answer

2

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 3 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 3)

Answer

f(x) = |x - 3|

Answer

f(x) = sqrt(x - 3)

Question 44

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x + 1

Answer

f'(x) = 3x³ - 4x²

Answer

f'(x) = x³ - 4x² + 1

Question 45

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x² ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) > 0 für x > 0 und f'(x) < 0 für x < 0

Answer

f'(x) > 0 für alle x

Answer

f'(x) < 0 für alle x

Answer

f'(x) = 0 für alle x

Question 46

Gib die Extremstellen der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3 an.

Accepted Answer

x1 = 1 und x2 = 3

Answer

x1 = 2 und x2 = 4

Answer

x1 = 0 und x2 = 6

Answer

x1 = -1 und x2 = -3

Question 47

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 1 für x > 0 und f'(x) = -1 für x < 0

Answer

f'(x) ist nicht definiert für x = 0

Answer

f'(x) = 0 für alle x

Answer

f'(x) = 1 für alle x

Question 48

Die Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x + 1 lautet:

Accepted Answer

F(x) = x^2 + x + C

Answer

F(x) = x^2 - x + C

Answer

F(x) = 2x^2 + C

Question 49

Welche der folgenden Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

∫(x^2 + 1) dx = (x^3) / 3 + x + C

Answer

∫(x^2 + 1) dx = x^2 + x + C

Answer

∫(x^2 + 1) dx = x^3 + C

Answer

∫(x^2 + 1) dx = (x^2) / 3 + C

Question 50

Die Fläche unter der Kurve f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2 beträgt:

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

16/3

Answer

2

Question 51

Welche der folgenden Folgen konvergiert?

Accepted Answer

a_n = 1 / n

Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = sqrt(n)

Answer

a_n = n^2