Ableitungen in der Mathematik: Grundlagen und Anwendungen

Question 1

Die Ableitung einer Funktion (f(x)) ist gegeben durch f'(x) = x^2 - 4. Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Kurve von f(x) an der Stelle (2, 0)?

Accepted Answer

y = 2x - 4

Answer

y = x - 4

Answer

y = x + 4

Answer

y = -2x + 4

Question 2

Welche der folgenden Ableitungen ist für die Funktion (f(x) = e^(2x)) korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = 2x*e^(2x)

Answer

f'(x) = x*e^(2x)

Question 3

Welche der folgenden Funktionen hat einen Graphen mit einer horizontalen Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = 2/x

Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = 2x - 3

Answer

f(x) = x^2 + 2

Question 4

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = 3x² + 2x - 5

Answer

f'(x) = x³ + 4x² - 10x + 1

Answer

f'(x) = x² + 2x - 5

Question 5

Welche Aussage über die Funktion h(x) = (x-1)² gilt?

Accepted Answer

h(x) hat ein Minimum bei x = 1.

Answer

h(x) steigt monoton für x > 1.

Answer

h(x) fällt monoton für x < 1.

Answer

h(x) hat ein Maximum bei x = 1.

Question 6

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x) + sin(3x).

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x) + 3cos(3x)

Answer

f'(x) = e^(2x) + 3sin(3x)

Answer

f'(x) = 2e^(2x) - 3cos(3x)

Answer

f'(x) = e^(2x) - 3sin(3x)

Question 7

Welche Funktion besitzt die Ableitung f'(x) = 2x - 3?

Accepted Answer

f(x) = 2x² - 3x + C

Answer

f(x) = x² - 3x + C

Answer

f(x) = 2x³ - 3x + C

Answer

f(x) = x² - 6x + C

Question 8

Berechne die Ableitung der Funktion h(x) = 2^(x+1) - 5.

Accepted Answer

h'(x) = 2^(x+1) * ln(2)

Answer

h'(x) = 2^x * ln(2)

Answer

h'(x) = 2^(x+1)

Answer

h'(x) = 2^x

Question 9

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 3x² gilt?

Accepted Answer

f'(x) hat eine Nullstelle.

Answer

f'(x) hat zwei Nullstellen.

Answer

f'(x) hat keine Nullstelle.

Answer

f'(x) hat drei Nullstellen.

Question 10

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = |x|.

Accepted Answer

f'(x) = 1 für x > 0 und f'(x) = -1 für x < 0

Answer

f'(x) = 1 für x > 0 und f'(x) = 0 für x < 0

Answer

f'(x) = -1 für x > 0 und f'(x) = 0 für x < 0

Answer

f'(x) = 0 für alle x

Question 11

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

f'(x) = cos(x) + sin(x)

Answer

f'(x) = cos(x) - sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x) - sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x) + sin(x)

Question 12

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 2

Answer

f'(x) = 2x² - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x² + 1

Question 13

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist die Quotientenregel?

Accepted Answer

(f/g)'(x) = (g'f - f'g) / g²

Answer

(f/g)'(x) = f'(x) / g'(x)

Answer

(f/g)'(x) = f'g + fg'

Answer

(f/g)'(x) = f'g / fg'

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

f⁻¹(x) = (x - 1) / 2

Answer

f⁻¹(x) = (x + 1) / 2

Answer

f⁻¹(x) = 2x - 1

Answer

f⁻¹(x) = -2x + 1

Question 15

Welche der folgenden Ableitungen ist die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x² + 1)?

Accepted Answer

f'(x) = 2x / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (x² + 1)

Answer

f'(x) = x / (x² + 1)

Answer

f'(x) = -2x / (x² + 1)

Question 16

Welcher Wert ist die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = 2x³ - 3x² + 4x im Punkt x = 1?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

Ihre Ableitung ist f'(x) = cos(x).

Answer

Ihre Ableitung ist f'(x) = -sin(x).

Answer

Ihre Ableitung ist f'(x) = tan(x).

Answer

Sie besitzt keine Ableitung.

Question 18

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich dem Wert der Ableitung von f(x) = 1/x im Punkt x = 2?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

-1/2

Answer

unendlich

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist konkav nach oben?

Accepted Answer

f(x) = x⁴ + 2x² + 1

Answer

f(x) = x⁴ - 2x² + 1

Answer

f(x) = -x⁴ + 2x² + 1

Answer

f(x) = -x⁴ - 2x² + 1

Question 20

Welches der folgenden Integrale ist gleich der Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x + C

Answer

1/e^x + C

Answer

ln(e^x) + C

Question 21

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x) + cos(x) für x ∈ ℝ.

Accepted Answer

f'(x) = cos(2x) + 2sin(x)

Answer

f'(x) = 2cos(2x) - sin(x)

Answer

f'(x) = 2cos(2x) + sin(x)

Answer

f'(x) = cos(2x) - 2sin(x)

Question 22

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1)/(x-2) für x ≠ 2.

Accepted Answer

f'(x) = (2x-4)/(x-2)²

Answer

f'(x) = (2x+4)/(x-2)²

Answer

f'(x) = (x² + 1)/(x - 2)

Answer

f'(x) = (x² - 1)/(x - 2)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die zweite Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

f''(x) = 4e^(2x)

Answer

f''(x) = 2e^(2x)

Answer

f''(x) = e^(2x)

Answer

f''(x) = (1/2)e^(2x)

Question 24

Berechne die zweite Ableitung von f(x) = e^(2x) + cos(3x).

Accepted Answer

4e^(2x) - 9sin(3x)

Answer

2e^(2x) + 3cos(3x)

Answer

e^(2x) - sin(3x)

Question 25

Welche der folgenden Ableitungen ist korrekt für die Exponentialfunktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = e^(x-1)

Answer

f'(x) = xe^x

Answer

f'(x) = x*e^(x-1)

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sattelpunkt?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - x^2 + x

Answer

f(x) = x^3 + x^2 - x

Answer

f(x) = x^3 + 2x^2 + x

Answer

f(x) = x^3 - 2x^2 + x

Question 27

Welche Aussage beschreibt die vertikale Asymptote der Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = -2

Answer

y = 2

Answer

y = -2

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist monoton steigend?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 2x + 1

Answer

f(x) = -x^2 + 2x - 1

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Answer

f(x) = -x^2 - 2x + 1

Question 29

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3.

Accepted Answer

3x^2

Answer

x^2

Answer

3x

Answer

x

Question 30

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion f(x) trifft zu?

Accepted Answer

Sie gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) in jedem Punkt an.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie ist immer negativ.

Answer

Sie ist immer eine Konstante.

Question 31

Berechne die zweite Ableitung der Funktion f(x) = x^4.

Accepted Answer

12x^2

Answer

4x^2

Answer

24x

Answer

48

Question 32

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = eˣ?

Accepted Answer

F(x) = eˣ + C

Answer

F(x) = eˣ - C

Answer

F(x) = x * eˣ + C

Answer

F(x) = x / eˣ + C

Question 34

Bestimme den Extrempunkt der Funktion f(x) = -x² + 4x - 3.

Accepted Answer

Extremum (2, 1)

Answer

Extremum (-2, -1)

Answer

Extremum (0, -3)

Answer

Die Funktion hat keinen Extrempunkt.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung ist 0.

Answer

Die erste Ableitung ist 0.

Answer

Die erste und zweite Ableitung sind 0.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle nicht differenzierbar.

Question 36

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 2cos(2x)

Answer

f'(x) = -2cos(2x)

Answer

f'(x) = 2sin(2x)

Answer

f'(x) = -2sin(2x)

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

F(x) = ln(x) + C

Answer

F(x) = -ln(x) + C

Answer

F(x) = x * ln(x) + C

Answer

F(x) = x / ln(x) + C

Question 38

Berechne das Integral von f(x) = 2x + 1 von 0 bis 2.

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

9

Answer

12

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht differenzierbar an x=0**?

Accepted Answer

|x|

Answer

x

Answer

x^2

Answer

e^x

Question 40

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel mit der Gleichung y = x^2 - 4x + 3.

Accepted Answer

(2, -1)

Answer

(2, -5)

Answer

(2, 1)

Answer

(2, 5)

Question 41

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

x^3

Answer

x^2

Answer

x

Answer

e^x

Question 42

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^2 + 1).

Accepted Answer

2x/(x^2 + 1)

Answer

x/(x^2 + 1)

Answer

1/(x^2 + 1)

Answer

(2x^2)/(x^2 + 1)

Question 43

Welche Aussage zur Ableitung einer konstanten Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung ist 0.

Answer

Die Ableitung ist 1.

Answer

Die Ableitung ist die Konstante selbst.

Answer

Es gibt keine Ableitung.

Question 44

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x² - 4x + 1

Answer

3x² + 1

Answer

x³ - 4x² + 2

Question 45

Welcher der folgenden Graphen stellt die Ableitung des Graphen der Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Answer

-cos(x)

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = x³?

Accepted Answer

3x² + C

Answer

x⁴/4

Answer

x⁴ + C

Answer

3x²/2

Question 47

Die Funktion f(x) = e^x hat folgende Ableitung:

Accepted Answer

e^x

Answer

-e^x

Answer

x * e^x

Answer

1/e^x

Question 48

Die erste Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) lautet:

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

ln(x)

Question 49

Die Kurve der Funktion f(x) ist konkav nach unten, wenn:

Accepted Answer

f''(x) < 0

Answer

f'(x) > 0

Answer

f'(x) < 0

Answer

f''(x) > 0

Question 50

Berechne die Ableitung der Funktion (f(x) = e^x).

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

e^x / x

Answer

e^x * ln(x)

Question 51

Welche Aussage ist richtig für die Funktion (f(x) = sqrt{x})?

Accepted Answer

Die Ableitung ist eine gebrochenrationale Funktion.

Answer

Die Ableitung ist eine lineare Funktion.

Answer

Die Ableitung ist eine trigonometrische Funktion.

Answer

Die Ableitung ist eine Exponentialfunktion.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Funktion f(x) = |x - 1|?

Accepted Answer

f'(x) existiert nicht an x = 1

Answer

f'(x) ist für alle x stetig

Answer

f'(x) ist nur an x = 1 stetig

Answer

f'(x) ist an keiner Stelle stetig

Question 53

Welches der folgenden Integrale ergibt die Ableitung von f(x) = x * sin(x)?

Accepted Answer

∫ x * cos(x) dx

Answer

∫ sin(x) dx

Answer

∫ x * sin(x) dx + C

Answer

∫ cos(x) dx

Question 54

Berechne die Ableitung der impliziten Funktion y = x³ + xy - 2.

Accepted Answer

y' = (3x² + y) / x

Answer

y' = (3x² - y) / x

Answer

y' = (3x - y) / x

Answer

y' = (3x + y) / x

Question 55

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die Funktion f(x) = √x?

Accepted Answer

f'(x) ist monoton wachsend

Answer

f'(x) ist monoton fallend

Answer

f'(x) hat ein Maximum bei x = 0

Answer

f'(x) hat ein Minimum bei x = 0

Question 56

Die Ableitung der Funktion f(x) = 2x⁴ - 5x² + 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 8x³ - 10x

Answer

f'(x) = 8x⁴ - 10x²

Answer

f'(x) = 2x³ - 5x

Answer

f'(x) = 8x³ - 10x + 1

Question 57

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x*e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1/e^x

Question 58

Die Funktion f(x) = x² + 2x hat einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

Es gibt keinen Wendepunkt.

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Question 59

Die Geschwindigkeit eines Objekts wird durch die Funktion v(t) = 2t² - 4t beschrieben. Was ist die Beschleunigung des Objekts zur Zeit t = 2?

Accepted Answer

4

Answer

-2

Answer

2

Answer

0

Question 60

Eine Funktion f(x) ist monoton steigend, wenn:

Accepted Answer

f'(x) > 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f'(x) ist konstant für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f'(x) = 0 für alle x im Definitionsbereich.

Answer

f'(x) < 0 für alle x im Definitionsbereich.

Question 61

Bestimme den Nullpunkt der Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1.

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 3

Answer

x = 2

Question 62

Berechne die Tangentengleichung der Funktion f(x) = x^2 - 3x + 2 im Punkt P(1, 0).

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x + 1