Grenzen und Stetigkeit in der Mathematik für Kfz-Mechatronikerinnen

Question 1

Was ist die korrekte Definition für Stetigkeit?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert und ist gleich dem Funktionswert an der Stelle.

Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar.

Question 2

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einer Stelle x0 korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert und ist gleich f(x0).

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x0 einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Answer

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x0 einen Pol.

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte und Stetigkeit ist falsch?

Accepted Answer

Stetige Funktionen sind auch differenzierbar.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist eindeutig.

Answer

Die Steigung einer Funktion am Grenzwert entspricht ihrer Ableitung an diesem Punkt.

Answer

Unstetige Funktionen können immer noch Grenzwerte haben.

Question 4

Welche der folgenden Funktionen weist einen Sprung bei ? = 3 auf?

Accepted Answer

?(?) = 1 / (? - 3)

Answer

?(?) = |? - 2|

Answer

ℎ(?) = (? - 3)²

Answer

?(?) = ?

Question 5

Berechne den Grenzwert von ?(?) = arctan(?) für ? gegen unendlich.

Accepted Answer

π / 2

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

-π / 2

Question 6

Welche der folgenden Aussagen ist ein notwendiges Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an der Stelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle definiert.

Answer

Die erste Ableitung der Funktion existiert an der Stelle.

Answer

Die zweite Ableitung der Funktion existiert an der Stelle.

Question 7

Welche der folgenden Funktionen weist eine Sprungsstelle bei x = 0 auf?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sqrt(x)

Question 8

Berechne den Grenzwert von f(x) = (1 + 1/x)^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

2

Answer

existiert nicht

Question 9

Nenne zwei konkrete Beispiele, wie das Konzept der **Stetigkeit** in praktischen **Anwendungen** wie Physik oder Wirtschaft zum Einsatz kommt.

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit in der Physik

Accepted Answer

Modellierung des Marktgleichgewichts in der Wirtschaft

Answer

Berechnung des Umfangs eines Kreises

Question 10

Was besagt die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn es für jede beliebig kleine Abweichung vom Funktionswert eine entsprechende Abweichung von der Eingabegröße gibt.

Answer

Die Definition gilt nur für Funktionen, die an allen Punkten differenzierbar sind.

Answer

Die Definition ist nur für theoretische Zwecke relevant und hat keine praktische Bedeutung.

Answer

Die Definition prüft die Stetigkeit von Funktionen nur an einzelnen Punkten.

Question 11

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem linksseitigen Grenzwert an einer Stelle und dem lokalen Minimum einer Funktion an dieser Stelle?

Accepted Answer

Der linksseitige Grenzwert muss dem Funktionswert am lokalen Minimum entsprechen.

Answer

Der linksseitige Grenzwert muss größer als der Funktionswert am lokalen Minimum sein.

Answer

Der linksseitige Grenzwert muss kleiner als der Funktionswert am lokalen Minimum sein.

Answer

Der linksseitige Grenzwert kann beliebig sein.

Question 12

Was ist die Definition der Stetigkeit einer Funktion f(x) an einem Punkt a?

Accepted Answer

f(a) existiert und lim x→a f(x) = f(a)

Answer

f(a) ist an der Stelle a differenzierbar

Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle a keine Lücke

Answer

Für alle x in der Umgebung von a gilt f(x) > 0

Question 13

Was ist die Definition des Grenzwertes?

Accepted Answer

Ein Wert, dem sich eine Funktion für x gegen unendlich annähert

Answer

Ein Wert, den eine Funktion für ein bestimmtes x annimmt

Answer

Ein Wert, der sich eine Funktion für x gegen 0 nähert

Answer

Ein Wert, der die Funktion für alle x definiert

Question 14

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Zwei stetige Funktionen müssen an allen Stellen stetig sein.

Answer

Eine stetige Funktion muss an allen Stellen differenzierbar sein.

Answer

Eine differenzierbare Funktion muss an allen Stellen stetig sein.

Answer

Zwei differenzierbare Funktionen müssen an allen Stellen differenzierbar sein.

Question 15

Berechne den Grenzwert von f(x) = x² sin(1/x) für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

π/2

Answer

unendlich

Question 16

Für welche Werte von x ist die Funktion f(x) = x² + 1 stetig?

Accepted Answer

für alle x ∈ ℝ

Answer

für x ∈ [0, ∞)

Answer

für x ∈ (-∞, 0]

Answer

für x ≠ 0

Question 17

Sei f(x) = { 1, wenn x rational, 0, wenn x irrational }. An welchen Stellen ist f(x) stetig?

Accepted Answer

nirgendwo

Answer

für alle x ∈ ℝ

Answer

an rationalen Stellen

Question 18

Ist die Funktion f(x) = x⁴ - 16 stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur rechtsseitig

Answer

Nein

Answer

Nur linksseitig

Question 19

Untersuche die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

stetig

Answer

diskontinuierlich der 1. Art

Answer

diskontinuierlich der 2. Art

Question 20

Berechne den Grenzwert von f(x) = (1 - cos(x)) / x² für x gegen 0.

Accepted Answer

1 / 2

Answer

0

Answer

existiert nicht

Answer

unendlich

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist nicht an jeder Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 22

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 24

Berechne den Grenzwert von ( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 ) für ( x 	o 2 ).

Accepted Answer

5

Answer

0

Answer

3

Answer

7

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = {x² für x < 2, 4 für x ≥ 2}

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = sgn(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 27

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion f(x) für x → a ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nur, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x = a gleich sind.

Answer

Der Grenzwert existiert immer, auch wenn die Funktion an der Stelle x = a nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert existiert, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle x = a verschieden sind.

Answer

Der Grenzwert ist immer unendlich, wenn sich x dem Wert a annähert.

Question 28

Welche Funktion hat eine vertikale Asymptote an der Stelle x = 3?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 3)

Answer

f(x) = e^(x - 3)

Answer

f(x) = sin(x - 3)

Answer

f(x) = x² - 9

Question 29

Welche Aussage ist richtig für die Funktion f(x) = |x|?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen außer x = 0 differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen differenzierbar.

Question 30

Welche Funktion hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 31

Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert zustrebt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Funktionswert an der Stelle, an der die unabhängige Variable ihren Grenzwert erreicht.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist die Steigung der Tangente an der Stelle des Grenzwerts.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, der die Funktion an der Stelle des Grenzwerts annimmt.

Question 32

Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion  f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1 / (x² + 1)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x| / x

Question 34

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a einen konstanten Wert haben.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a einen lokalen Extremwert haben.

Question 35

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, auch wenn die Funktion an der Stelle des Grenzwerts nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann mehrere Werte annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert nur, wenn die Funktion an der Stelle des Grenzwerts definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle des Grenzwerts.

Question 36

Eine Funktion hat an der Stelle x = a einen Sprung. Was bedeutet das für die Stetigkeit der Funktion an dieser Stelle?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a nicht stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = a stetig.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = a einen lokalen Extremwert.

Question 37

Wie kann man den Grenzwert einer Funktion grafisch bestimmen?

Accepted Answer

Indem man den Verlauf der Funktionskurve in der Nähe des Grenzwerts betrachtet und die Richtung der Annäherung beobachtet.

Answer

Indem man die Steigung der Tangente an der Stelle des Grenzwerts berechnet.

Answer

Indem man die Ableitung der Funktion an der Stelle des Grenzwerts berechnet.

Answer

Indem man den Funktionswert an der Stelle des Grenzwerts berechnet.

Question 38

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 40

Wie kann man die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a untersuchen?

Accepted Answer

Indem man den Grenzwert von f(x) für x → a berechnet und ihn mit dem Funktionswert f(a) vergleicht.

Answer

Indem man den Graphen der Funktion f(x) an der Stelle x = a betrachtet.

Answer

Indem man die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a berechnet.

Answer

Indem man die Steigung der Tangente an der Stelle x = a berechnet.

Question 41

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn die unabhängige Variable sich dieser Stelle nähert.

Answer

Der maximale Wert der Funktion in der Nähe der Stelle.

Answer

Der Funktionswert an der Stelle.

Answer

Der Wert, der die Funktion am häufigsten annimmt in der Nähe der Stelle.

Question 42

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 2 **keinen** Grenzwert?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2| / (x - 2)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

2

Question 44

Was ist die Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert an der Stelle existiert und ist gleich dem Funktionswert an der Stelle.

Answer

Die Funktion hat einen stetigen Verlauf an der Stelle.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle definiert.

Answer

Die Ableitung der Funktion an der Stelle existiert.

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = √(x - 1)

Question 46

Welche Aussage über stetige Funktionen ist **falsch**?

Accepted Answer

Stetige Funktionen sind immer differenzierbar.

Answer

Stetige Funktionen können ohne Absetzen gezeichnet werden.

Answer

Stetige Funktionen haben immer einen Grenzwert.

Answer

Stetige Funktionen haben keine Sprünge oder Löcher im Graph.

Question 47

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig. Was trifft dann auf den Grenzwert der Funktion an dieser Stelle zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert, aber ist nicht gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 49

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist **sowohl** an der Stelle x = 0 **als auch** an der Stelle x = 1 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x dem Punkt immer näher kommt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt ist der Wert der Funktion an diesem Punkt.

Question 52

Welcher ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Question 54

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a muss existieren und gleich f(a) sein.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a muss gleich 0 sein.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle x = a definiert sein.

Question 55

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = sin(x) / x für x → 0?

Accepted Answer

1

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert für x → 0.

Answer

-1

Answer

0

Question 56

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = 1 / (x - 3) nicht stetig?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = -3

Answer

x = 0

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über stetige Funktionen ist richtig?

Accepted Answer

Stetige Funktionen können ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden.

Answer

Stetige Funktionen sind immer differenzierbar.

Answer

Stetige Funktionen haben immer einen Grenzwert.

Question 58

Welcher ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) für x → 2?

Accepted Answer

12

Answer

2

Answer

8

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert für x → 2.

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 60

Welche Aussage über die Stetigkeit der Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig.