Grenzwerte von Funktionen: Online-Quiz für Mechatronikerinnen

Question 1

Welchen Grenzwert hat die Funktion f(x) = sin(x) / x, wenn x gegen 0 geht?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 2

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Grenzwert korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle gibt den Wert an, dem sich die Funktionswerte unendlich oft annähern, wenn sich die Stelle der Funktion dieser Stelle nähert.

Answer

Ein Grenzwert ist immer eine endliche Zahl.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist abhängig vom betrachteten Funktionszweig.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.

Question 3

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 4

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x→1) (1 / (x - 1))

Answer

lim (x→2) (x² - 4)

Answer

lim (x→0) (sin(x) / x)

Answer

lim (x→∞) (e^x)

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 6

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert eines Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Grenzwert der inneren Funktion, eingesetzt in den Grenzwert der äußeren Funktion.

Question 7

Welche Funktion hat einen vertikalen Grenzwert an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 8

Erläutere, warum die Funktion g(x) = |x - 3| an der Stelle x = 3 keinen Grenzwert hat.

Accepted Answer

Berechne die einseitigen Grenzwerte von links und rechts und zeige, dass sie verschieden sind.

Answer

Beweise, dass die Funktion an der Stelle x = 3 nicht stetig ist.

Answer

Berechne den Grenzwert von g(x) für x gegen unendlich.

Question 9

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x → 1) (1 / (x² - 1))

Answer

lim (x → 2) (x² - 1)

Answer

lim (x → 0) (sin(x) / x)

Answer

lim (x → ∞) (x² - sqrt(x² - 1))

Question 10

Welches der folgenden Beispiele ist eine Anwendung von Grenzwerten in der Mathematik?

Accepted Answer

Berechnung der Steigung einer Tangente an eine Kurve

Answer

Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Answer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Question 11

Bestimme den Grenzwert von n(x) = x * sqrt(x² + 1) für x → ∞.

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

nicht existent

Question 12

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwerts korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle a ist die Zahl L, wenn für beliebig kleines ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt: |f(x) - L| < ε.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle a ist die Zahl L, wenn für alle x mit x ≠ a gilt: f(x) = L.

Question 13

Welche Eigenschaft gilt für Grenzwerte von Summen?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert der Summe ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert der Summe ist gleich dem Produkt der Grenzwerte.

Question 14

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 einen nicht hebbaren Grenzwert?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 15

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a trifft zu?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a unendlich ist.

Question 16

Bestimme den Grenzwert von f(x) = x² - 1, wenn x gegen unendlich strebt.

Accepted Answer

unendlich

Answer

1

Answer

0

Answer

-unendlich

Question 17

Nenne die notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts von f(x) für x, das sich der Zahl a nähert.

Accepted Answer

f(x) muss für alle x in einer Umgebung von a definiert sein, außer möglicherweise bei a.

Answer

f(x) muss an der Stelle a definiert sein.

Answer

f(x) muss für alle x größer als a definiert sein.

Question 18

Nenne eine Anwendung von Grenzwerten in der Physik.

Accepted Answer

Berechnung der momentanen Geschwindigkeit eines Objekts.

Answer

Ermittlung des Flächeninhalts einer Figur.

Answer

Bestimmung der Steigung einer Geraden.

Question 19

Welche Funktion hat einen oszillierenden Grenzwert lim x->∞ f(x)?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x^2

Question 20

Berechne den Grenzwert lim x->0 (e^x - 1) / x

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

-1

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat den Grenzwert 1 für x gegen 0?

Accepted Answer

sin(x) / x

Answer

ln(x)

Answer

cos(x)

Answer

e^x

Question 22

Welches Kriterium besagt, dass der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte ist?

Accepted Answer

Linearitätskriterium

Answer

Limes superior-Kriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Cauchy-Schwarz-Kriterium

Question 23

Welche Art von Grenzwert liegt vor, wenn f(x) für x gegen a einen endlichen Wert annimmt?

Accepted Answer

endlicher Grenzwert

Answer

unendlicher Grenzwert

Answer

oszillierender Grenzwert

Answer

nicht existierender Grenzwert

Question 24

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 2 keinen endlichen Grenzwert?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 25

Welche Substitution kann bei der Grenzwertberechnung von lim (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2 verwendet werden?

Accepted Answer

u = x - 2

Answer

u = x + 2

Answer

u = 4 - x

Answer

u = x²

Question 26

Welche der folgenden Aussagen ist falsch über Grenzwerte von Funktionen?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen c ist immer gleich f(c).

Answer

Eine Funktion kann mehrere Grenzwerte für verschiedene Werte von c haben.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich oder nicht existent sein.

Question 27

Welche Art von Grenzwert ist f(x) = sqrt(x^2 + x) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

Unendlicher Grenzwert

Answer

Grenzwert in einem Punkt

Answer

Endlicher Grenzwert

Answer

Einseitiger Grenzwert

Question 28

Welche der folgenden Funktionen hat keinen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = 1/x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (ln(x^2 + 1))/(x - 1) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

0

Answer

Es existiert kein Grenzwert

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 30

Welche Aussage über die Funktion f(x) = sin(x) + cos(x) ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist für alle x beschränkt.

Answer

Sie ist für alle x monoton wachsend.

Answer

Sie ist für alle x ungerade.

Answer

Sie hat für alle x einen Grenzwert von 0.

Question 31

Was passiert mit dem Funktionswert von f(x) = ln(x + 1), wenn x sich dem Wert -1 nähert?

Accepted Answer

Der Funktionswert nähert sich negativer Unendlichkeit.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 0.

Answer

Der Funktionswert nähert sich positiver Unendlichkeit.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 1.

Question 32

Welche Funktion hat keinen endlichen Grenzwert, wenn x gegen 0 strebt?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = √x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 33

Wie lautet der Grenzwert der Funktion g(x) = (x^2 * sin x) / x für x gegen 0?

Accepted Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

-1

Answer

1

Question 34

Welche Aussage trifft auf den Grenzwert von f(x) = 1/(x-2) für x gegen 2 zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist 2.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Question 35

Was passiert mit dem Funktionswert von f(x) = sin(x), wenn x gegen unendlich strebt?

Accepted Answer

Der Funktionswert oszilliert zwischen -1 und 1.

Answer

Der Funktionswert nähert sich -1.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 1.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 0.

Question 36

Wie lautet der Grenzwert von (x^3 - 8) / (x - 2) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Answer

-∞

Question 37

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x sich einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Der Wert, den die Funktion bei x = 0 annimmt.

Answer

Der Wert, an dem der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.

Question 38

Was passiert mit dem Funktionswert von f(x) = 1/(x-2), wenn x sich dem Wert 2 nähert?

Accepted Answer

Der Funktionswert nähert sich unendlich.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 1.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 2.

Answer

Der Funktionswert nähert sich 0.

Question 39

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = sin(x)/x, wenn x gegen 0 geht?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Question 40

Welchen Wert nähert sich die Funktion f(x) = e^(2x) an, wenn x immer größer wird (x gegen unendlich geht)?

Accepted Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

2

Answer

1

Question 41

Was passiert mit der Funktion f(x) = ln(x), wenn x sich der Zahl 0 annähert (x gegen 0 geht)?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Question 42

Welche Rolle spielen Grenzwerte in der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Grenzwerte sind die Grundlage für die Definition von Ableitungen.

Answer

Grenzwerte werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen.

Answer

Grenzwerte werden verwendet, um Gleichungssysteme zu lösen.

Answer

Grenzwerte haben keine direkte Verbindung zur Differentialrechnung.

Question 43

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann verwendet werden, um die Steigung einer Tangente an einen Punkt auf dem Graphen der Funktion zu bestimmen.

Question 44

Welche Formel beschreibt den Grenzwert, der die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x² im Punkt x = 1 darstellt?

Accepted Answer

lim(h→0) ( (1 + h)² - 1 ) / h

Answer

lim(x→0) x²

Answer

lim(h→0) ( (1 + h) - 1 ) / h

Answer

lim(x→1) x²

Question 45

Welchen Wert hat der Grenzwert der Funktion f(x) = sin(x)/x für x → 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 46

Welche Aussage über den Grenzwert lim(x→a) f(x) = L ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert L ist unabhängig vom Wert von f(a), falls f(a) nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert L kann nicht unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert L muss gleich f(a) sein.

Question 47

Was gibt der Grenzwert einer Funktion f(x) für x → a an?

Accepted Answer

Der Grenzwert gibt den Wert an, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x sich a annähert.

Answer

Der Grenzwert existiert nur, wenn die Funktion an der Stelle x = a definiert ist.

Answer

Der Grenzwert ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle x = a.

Question 48

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 2 für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = 2 + 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2 + 2

Question 49

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

∞

Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = 1/x für x → 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist ∞.

Answer

Der Grenzwert ist -∞.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Question 51

Welche Funktion beschreibt die Tangente an die Kurve f(x) = x^2 im Punkt (1, 1)?

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x^2

Answer

y = x + 1

Question 52

Welcher Grenzwert beschreibt die Geschwindigkeit eines Objekts zum Zeitpunkt t = 2, wenn dessen Position durch die Funktion s(t) = t^3 gegeben ist?

Accepted Answer

lim_(h→0) (s(2+h) - s(2)) / h

Answer

s(2)

Answer

lim_(t→2) s(t)

Question 53

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote bei y = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x^2

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 54

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

1

Question 55

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion f(x) für x → a ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert immer, unabhängig von der Funktion f(x).

Answer

Der Grenzwert kann ∞ oder -∞ sein.

Answer

Der Grenzwert kann ein endlicher Wert sein.

Question 56

Welche Funktion hat einen Grenzwert von 1 für x → -∞?

Accepted Answer

f(x) = (x + 1) / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 57

Welche Aussage beschreibt den Grenzwert einer Funktion am besten?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte annähern, wenn die unabhängige Variable einem bestimmten Wert entgegenstrebt.

Answer

Der höchste Wert, den die Funktion annehmen kann.

Question 58

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = x² + 1 für x → 2?

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

1

Question 59

Welche Funktion hat einen Grenzwert von 0, wenn x → ∞ strebt?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 60

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x = a ist korrekt, wenn der Grenzwert von links und rechts unterschiedlich ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist der niedrigere der beiden Grenzwerte.

Answer

Der Grenzwert ist der Mittelwert der Grenzwerte von links und rechts.

Answer

Der Grenzwert ist der höhere der beiden Grenzwerte.

Question 61

Was ist die mathematische Schreibweise für den Grenzwert der Funktion f(x) für x → a?

Accepted Answer

lim_(x→a) f(x)

Answer

f'(a)

Answer

∫f(x) dx

Question 62

Eine Funktion hat einen Sprung an der Stelle x = a. Was kann man über den Grenzwert an dieser Stelle aussagen?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist gleich dem Mittelwert der Funktionswerte von links und rechts.

Answer

Der Grenzwert ist gleich dem Grenzwert von links.

Answer

Der Grenzwert ist gleich dem Funktionswert an der Stelle x = a.

Question 63

Welche Anwendung von Grenzwerten ist in der Physik besonders relevant?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts in einem bestimmten Moment.

Answer

Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks.

Answer

Berechnung des Volumens eines Würfels.

Question 64

Welche der folgenden Grenzwertsätze kann verwendet werden, um den Grenzwert der Summe zweier Funktionen zu berechnen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz der Summe.

Answer

Grenzwertsatz der Quotienten.

Answer

Grenzwertsatz des Produkts.