Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Fachinformatikerinnen

Question 1

Welche Aussage über die Beziehung zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen trifft zu?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind unabhängige Eigenschaften.

Answer

Nur differenzierbare Funktionen sind stetig.

Question 2

Welche der folgenden Regeln gilt für die Berechnung von Grenzwerten?

Accepted Answer

Bei zusammengesetzten Funktionen kann der Grenzwert aus den Einzelgrenzwerten bestimmt werden.

Accepted Answer

Der Grenzwert einer konstanten Funktion ist die Konstante selbst.

Answer

Grenzwerte können immer berechnet werden.

Answer

Bei Wurzelfunktionen muss die Wurzel immer positiv sein.

Question 3

Welcher Ausdruck definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim$x → a$ f(x) = L

Answer

lim$x → a$ f(x) > L

Answer

lim$x → a$ f(x) < L

Answer

lim$x → a$ f(x) = ∞

Question 4

Welcher Grenzwert existiert für die Funktion f(x) = sin$x$ für x gegen 0?

Accepted Answer

Existiert und ist gleich 0

Answer

Existiert und ist gleich 1

Answer

Existiert und ist gleich -1

Answer

Existiert nicht

Question 5

Berechnen Sie den Grenzwert von **f(x) = (x - 3)/(x - 2)** für **x gegen 2**. Achten Sie auf korrekte Rundung.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

4

Question 6

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion **f(x)** an der Stelle **x = a**? Achten Sie auf korrekte Formulierung.

Accepted Answer

lim x->a f(x) = f(a)

Answer

f(a) existiert

Answer

f(a) ist endlich

Answer

Die Ableitung von f(x) ist an der Stelle x = a definiert

Question 7

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig für alle **x**? Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

g(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = x^2

Answer

h(x) = |x|

Answer

k(x) = sin(x)

Question 8

Untersuchen Sie die Stetigkeit der Funktion **f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)** an der Stelle **x = 1**. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

Unstetig der 2. Art

Answer

Stetig

Answer

Unstetig der 1. Art

Answer

Nicht definiert

Question 9

Die Funktion f(x) = x² soll an der Stelle x = 2 stetig sein. Welche Bedingung muss für jedes beliebig kleine ε > 0 erfüllt sein, um die Stetigkeit zu gewährleisten?

Accepted Answer

Es gibt ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - 2| < δ gilt: |f(x) - 4| < ε.

Answer

Es gibt ein ε > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - 2| < ε gilt: |f(x) - 4| < δ.

Answer

Für jedes x gibt es ein ε > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - 2| < ε gilt: |f(x) - 4| < ε.

Question 10

Was ist die Aussage der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit?

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine positive Epsilon gibt es ein positives Delta, sodass |f(x) - f(a)| < Epsilon für alle x, die |x - a| < Delta erfüllen.

Answer

Eine Funktion ist stetig an einem Punkt, wenn sie dort differenzierbar ist.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall [0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion **f(x)** an der Stelle **x0** korrekt?

Accepted Answer

**f(x0)** ist definiert, der Grenzwert von **f(x)** für **x** gegen **x0** existiert und ist gleich **f(x0)**.

Answer

**f(x0)** ist nur an der Stelle **x0** definiert.

Answer

Der Grenzwert von **f(x)** für **x** gegen **x0** ist größer als **f(x0)**.

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle **x** = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

**f(x) = |x|**

Answer

**f(x) = x²**

Answer

**f(x) = sin(x)**

Question 14

Welcher Ausdruck ist gleichbedeutend mit der Aussage "**f(x)** ist stetig an der Stelle **x** = **a**"?

Accepted Answer

**lim(x → a) f(x) = f(a)**

Answer

**f'(x)** existiert an der Stelle **x** = **a**

Answer

**f(x)** ist an der Stelle **x** = **a** definiert

Answer

**f(x) = 0** an der Stelle **x** = **a**

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist unstetig?

Accepted Answer

**f(x) = 1/x** für **x** = 0

Answer

**f(x) = x² + 1**

Answer

**f(x) = sin(x)**

Question 16

Untersuche, ob die Funktion f(x) = 1 / x für x gegen 0 stetig ist:

Accepted Answer

f(x) ist nicht stetig in x = 0.

Answer

f(x) ist stetig in x = 1.

Answer

f(x) ist stetig in x = 0.

Question 17

Sei f(x) = {1 für x rational, 0 für x irrational}. Wie lautet die Aussage über die Stetigkeit in x = π?

Accepted Answer

f(x) ist nicht stetig in x = π.

Answer

f(x) ist stetig in x = π.

Question 18

Welche Aussage über f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist stetig für alle x.

Answer

f(x) ist nicht stetig für x = 1.

Answer

f(x) ist nicht stetig für x = 0.

Question 19

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit von f(x) = abs(x - 1)?

Accepted Answer

f(x) ist stetig für alle x außer x = 1.

Answer

f(x) ist stetig für alle x.

Answer

f(x) ist nicht stetig für alle x.

Question 20

Welche Aussage definiert einen Grenzwert einer Funktion f(x) im Punkt x=a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x-a| < δ gilt: |f(x)-L| < ε. Dabei ist L die Zahl, gegen die der Grenzwert konvergiert.

Answer

Für jedes δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |f(x)-L| < δ gilt: 0 < |x-a| < ε.

Question 21

Welche Aussage zur Stetigkeit einer Funktion f(x) im Punkt x=a ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist stetig an der Stelle x=a, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und mit f(a) übereinstimmt.

Answer

f(x) ist stetig an der Stelle x=a, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert.

Question 22

Welche Funktion ist nicht stetig auf den reellen Zahlen?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 23

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 24

Welche Aussage beschreibt korrekt, wann eine Funktion an einer Stelle stetig fortsetzbar ist?

Accepted Answer

Wenn die Grenzwerte von links und rechts an dieser Stelle übereinstimmen

Answer

Wenn die Grenzwerte von links und rechts an dieser Stelle unterschiedlich sind.

Question 25

Welche Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 26

Welche Aussage beschreibt korrekt, wann eine Funktion differenzierbar ist?

Accepted Answer

Wenn die Funktion an der Stelle stetig ist und der Grenzwert des Differenzenquotienten gegen 0 existiert

Answer

Wenn die Funktion an der Stelle stetig ist.

Question 27

Berechne die Ableitung von f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x³ - 2x

Answer

1

Question 28

Welche Funktion ist zweimal differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = x^(1/2)

Answer

f(x) = 1 / x

Question 29

Berechne den Grenzwert von h(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 30

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = sign(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Question 31

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Der einseitige Grenzwert von links und der von rechts existieren und sind gleich.

Answer

Die Ableitung der Funktion existiert an diesem Punkt.

Answer

Der Graph der Funktion hat an diesem Punkt keinen Sprung.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion **f(x) = e^x** ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.

Answer

Die Funktion hat eine Definitionslücke an der Stelle **x = 0**.

Answer

Die Funktion hat eine Polstelle an der Stelle **x = 0**.

Question 33

Welche der folgenden Eigenschaften ist **notwendig** für die Stetigkeit einer Funktion am Punkt x0?

Accepted Answer

f(x0) existiert

Answer

f(x) ist differenzierbar an x0

Answer

f(x) ist beschränkt in einer Umgebung von x0

Answer

f'(x0) existiert

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist **in jedem Punkt** stetig?

Accepted Answer

x^2

Answer

tg(x)

Answer

1/x

Answer

|x|

Question 35

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert **nicht**?

Accepted Answer

lim(x->0) sin(1/x)

Answer

lim(x->-1) (x^3 + 2x^2 - 3x + 1)

Answer

lim(x->inf) e^(-x^2)

Answer

lim(x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Question 36

Welche der folgenden Aussagen ist **zutreffend**?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion ist **nicht** immer differenzierbar.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Question 37

Prüfe, ob die Funktion f(x) = |x| im Punkt x0 = 0 differenzierbar ist.

Accepted Answer

Nicht differenzierbar

Answer

Bedingt differenzierbar

Answer

Nicht definiert

Answer

Differenzierbar

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [-1, 1] **nicht gleichmäßig stetig**?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von der Richtung abhängen, aus der man sich dem Punkt nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann eine reelle Zahl sein.

Question 40

Berechne den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x, das gegen 2 geht.

Accepted Answer

4

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Answer

2

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = √(x - 1)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 42

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x, das gegen a geht, muss existieren und gleich f(a) sein.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x, das gegen a geht, muss gleich unendlich sein.

Answer

f(x) muss an der Stelle x = a definiert sein.

Answer

Die Ableitung von f(x) muss an der Stelle x = a existieren.

Question 43

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (sin(x)) / x für x, das gegen 0 geht.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Dieser Grenzwert existiert nicht.

Answer

Unendlich

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist **richtig**?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion kann an einem Punkt einen scharfen Knick haben.

Answer

Eine stetige Funktion kann an einem Punkt einen Sprung haben.

Answer

Eine stetige Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Eine stetige Funktion kann an einem Punkt eine Polstelle haben.

Question 45

Welche der folgenden Funktionen hat einen **Sprung** an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = { 1 für x < 0; 2 für x ≥ 0 }

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1 / x

Question 46

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x, das gegen a geht, existiert, wenn...

Accepted Answer

die einseitigen Grenzwerte von links und rechts gleich sind.

Answer

f(x) stetig an der Stelle x = a ist.

Answer

f(x) an der Stelle x = a definiert ist.

Answer

f(x) differenzierbar an der Stelle x = a ist.

Question 47

Welche der folgenden Funktionen hat eine **vertikale Asymptote** bei x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = sin(x - 1)

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 48

Wann existiert der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert, wenn die Funktion sich von links und rechts der Stelle dem gleichen Wert nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert nur, wenn die Funktion stetig an der Stelle ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, wenn die Funktion an der Stelle definiert ist.

Question 49

Welche Aussage über den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Grenzwert ist korrekt?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert.

Answer

Eine Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert, unabhängig davon, ob sie stetig ist oder nicht.

Answer

Eine stetige Funktion hat an keiner Stelle einen Grenzwert.

Question 50

Was ist der Grenzwert der Folge a_n = (n + 1)/n für n, das gegen unendlich geht?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 51

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 52

Kann der Grenzwert einer Funktion existieren, wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert ist?

Accepted Answer

Ja, der Grenzwert einer Funktion kann existieren, auch wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert ist.

Answer

Nein, der Grenzwert einer Funktion existiert nur, wenn die Funktion an der Stelle definiert ist.

Question 53

Wie lautet die Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

lim x->a f(x) = L bedeutet: Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε gilt, wenn 0 < |x - a| < δ.

Answer

lim x->a f(x) = L bedeutet: Es gibt ein x₀ > 0, sodass f(x₀) = L.

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sqrt(x + 2)

Question 55

Was ist der Grenzwert von f(x) = sin(x) für x, das sich der 0 nähert?

Accepted Answer

lim x->0 sin(x) = 0

Answer

lim x->0 sin(x) = 1

Answer

lim x->0 sin(x) existiert nicht

Answer

lim x->0 sin(x) = Unendlich

Question 56

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

e

Question 57

Ist die Funktion f(x) = x² - 4 stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur von rechts

Answer

Nein

Answer

Nur von links

Question 58

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 59

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4) für x -> 2.

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

0

Question 60

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = x^2 - 4 für x = 2 zu?

Accepted Answer

f(x) ist stetig

Answer

f(x) hat einen Sprung

Answer

f(x) ist unstetig

Answer

f(x) hat eine Definitionslücke

Question 61

Bestimme, ob die Funktion f(x) = |x| für x -> 0 stetig ist.

Accepted Answer

unstetig

Answer

stetig

Answer

linksseitig stetig

Answer

rechtsseitig stetig

Question 62

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 3 unendlich?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 3)

Answer

f(x) = x^2 - 9

Answer

f(x) = |x - 3|

Answer

f(x) = (x - 3)^2

Question 63

Ermittle den Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x^2) / (x - pi/2) für x -> pi/2.

Accepted Answer

-1/2

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion stetig ist, dann ist sie auch differenzierbar.

Answer

Wenn eine Funktion stetig ist, dann ist ihr Graph eine glatte Kurve.

Answer

Wenn eine Funktion einen Grenzwert besitzt, dann ist sie auch stetig.